Este texto lo escribí hace tres años, y lo acabo de reencontrar. ¿Qué ha cambiado?
La educación matemática hoy en los niveles medio superior y superior
Durante
siglos, el modelo de educación matemática en los bachilleratos y las
universidades, ha permanecido sin alteraciones en la mayor parte de los
sistemas educativos. Generalmente, las propuestas se han centrado en la
transmisión de conceptos, procedimientos y reglas, desarrollándose de manera
lineal, conforme las tablas de contenido
de los libros de texto. Este documento cuestiona ese modelo y su pertinencia en
los tiempos que corren, apoyándonos en los resultados de la didáctica de las
matemáticas que se han venido recopilando y replanteando desde las década de
los 70’s y con vistas al desempeño profesional y en la vida de los alumnos que
dejan el bachillerato o terminan una licenciatura, con todas las opciones
intermedias. ¿Dónde estamos y hacia dónde quisiéramos avanzar?
Este
modelo sigue los pasos de la propuesta contenida en los Elementos
de Euclides, pensado como libro de texto. Sin embargo
hay que recordar que en esos libros se trata de construir lógicamente, de
manera deductiva, el conocimiento desarrollado hasta la época de su
publicación. La aritmética y la geometría eran dos de los componentes del
quadrivium, parte del programa de estudios delineado por Platón en La República.
Se trataba de vehicular el pensamiento lógico deductivo a través de esa
instrucción. En la época medieval el conocimiento de estos temas permitía
acceder al grado de bachiller, prerrequisito para estudiar Medicina, Leyes o
Teología.
En
tanto los conocimientos requeridos de un alumno no variaran, no aparecieran
nuevos tópicos, nuevas metodologías, nuevas herramientas, el modelo seguía
siendo válido. Lo que actualmente se denomina “educación clásica” es un esquema
que recupera e incluye estos temas pero que incorpora elementos de los siglos XV
al XX, como son el álgebra, la geometría
analítica y el cálculo, necesarios para el desarrollo industrial en los siglos
XIX y XX, tomando en cuenta que lo que se denomina la Primera Revolución
Industrial se podría situar a finales del siglo XVIII concluyendo hacia
mediados del siglo XIX, mientras que lo que se puede llamar Segunda Revolución Industrial
partiría desde mediados del siglo XIX hasta principios del siglo XX (hacia
1914). Algunos sistemas educativos, como el nuestro, siguen anclados en ese
esquema.
En
una entrevista para ABC, en España, Richard Gerver, menciona algunas de las
características de la educación que deberían de estar presentes en las escuelas
modernas. Lo que comenta respecto al sistema educativo español puede aplicarse
de manera pertinente a nuestro propio sistema educativo. En particular, señala
que el sistema educativo español:
Está caduco. De hecho, está anclado en la era
industrial. No es efectivo para el mundo de hoy, donde se necesitan empleados
creativos y capaces de pensar por ellos mismos. El sistema español, donde solo
se enseña y se controla, no tiene sentido.
Los
cuestionamientos a los sistemas educativos, a los métodos de enseñanza y a los
contenidos de los programas no son nuevos. A mediados del siglo pasado, los
matemáticos europeos de renombre incursionaron en el análisis y reformulación
de los programas de estudio de matemáticas a niveles medio y superior. Durante el coloquio de Royaumont en 1959, organizado
por lo que ahora es la OCDE, Dieudonné lanzó el famoso grito de guerra de: à bas Euclide! (abajo Euclides). Lo que
cuestionaba y fustigaba era la enseñanza excesiva de la geometría del triángulo
en el bachillerato y en la universidad. Aducía
que no tendría que haber habido lugar para la jerga, el dogmatismo, la
introducción temprana de la axiomática:
Solamente
se puede desarrollar fructíferamente una teoría matemática bajo la forma
axiomática cuando el estudiante ya está
familiarizado con el asunto al que se aplica, trabajando durante un cierto
tiempo sobre una base experimental, o semi-experimental, es decir recurriendo
constantemente a la intuición.
Se
desencadenó una necesidad de reformar la enseñanza de las matemáticas,
encabezada por el grupo Bourbaki del que Dieudonné formaba parte. Pero
ya en 1974, "siendo uno de los padres de la reforma, Dieudonné tuvo que
denunciar públicamente una nueva escolástica, "forma aún más agresiva y estúpida colocada bajo la bandera del
'modernismo'." Así pueden ser las reformas cuando se sacan con fórceps,
esencialmente, y sin tiempos de experimentación real en las clases (como
ocurrió en la década de 1970)".
Matemáticos
como Borel se unieron a los reclamos:
Todos los cambios de los programas deben
necesariamente fracasar, o al menos tener apariencias de fallar, por la
sencilla razón de que la masa de los maestros no puede obtener de golpe una
técnica pedagógica tan buena para los nuevos materiales como la técnica
tradicional lo era para los anteriores. Pero la contraparte de esta
constatación pesimista no es menos precisa: si bien es cierto que lo esencial
en la enseñanza es menos el programa que el método, todo cambio de programas
debe, en definitiva, dar buenos resultados después de que hemos sido capaces de
crear nuevos métodos adecuados para el nuevo material.
Es
en esa época que surge la Didáctica de las matemáticas (y de otras disciplinas)
como campo de investigación formal, en la búsqueda de propuestas para acercar a
los jóvenes al conocimiento y disfrute de las matemáticas como actividad, no
como doctrina. Sin embargo, a pesar de los resultados de investigaciones en ese
campo, acumulados en los últimos 45 años, no parece que tengamos avances
sustanciales, al menos en este país.
Veamos, por ejemplo, un Curso de matemáticas fechado, por el
alumno que lo utilizó, en 1850. Lamentablemente lo que queda del libro no
permite conocer el nombre de autor ni del editor. Tampoco puede verse la tabla
de contenidos, pero ésta puede
reconstruirse hojeando el ejemplar:
·
Aritmética
o
Números decimales y fraccionarios, con
cuidadosas explicaciones y ejemplos para el desarrollo de cada una de las
operaciones.
o
Razones y proporciones
o
Sistemas de medidas
·
Algebra
o
Terminología y el uso de símbolos
o
Operaciones con expresiones algebraicas
o
MCD
o
Ecuaciones
§ Primer
grado con una incógnita
§ Primer
grado con dos incógnitas (sistemas 2 x 2)
§ Primer
grado con más de dos incógnitas (sistemas 3x3)
§ Aplicaciones
a la resolución de problemas
§ Análisis
de los casos en los que la resolución de un sistema de ecuaciones lineales
conduce a fracciones cuyo denominador es cero.
o
Ecuaciones de segundo grado con una
incógnita
§ El
cálculo de la raíz cuadrada
§ Aplicaciones
o
Potencias fraccionarias de números y
términos algebraicos
o
Aplicaciones
o
Proporciones, ahora con términos
algebraicos
o
Logaritmos
·
Suplemento a los elementos de algebra.
o
Progresiones
o
Regla de interés
§ Simple
§ Compuesto
o
Combinaciones y permutaciones
o
Binomio de Newton
·
Geometría euclidiana
o
Geometría plana
§ Definiciones
§ Ángulos
§ Triángulos
·
Congruencia
§ Rectas
perpendiculares y paralelas
§ Círculo
y rectas en el círculo
§ Polígonos
y sus propiedades
§ Proporciones
y semejanza
§ Comparación
de áreas de figuras semejantes
§ Problemas
de aplicación
o
Geometría del espacio
§ Planos
y sus intersecciones
§ Ángulos
poliedros
§ Poliedros
§ Secciones
de poliedros
§ Volúmenes
de prismas y pirámides
§ Semejanza
de poliedros
§ Cuerpos
redondos y sus propiedades
·
Área
·
Volumen
·
Semejanza
§ Aplicaciones
§ Volúmenes
de los cuerpos que constituyen las obras de fortificación
o
Nivelación
§ Aplicación
de todo lo precedente
o
Trigonometría y levantamiento de planos
o
Teoremas y formulas de la trigonometría
§ Resolución
de triángulos
·
Rectángulos
·
Oblicuos
·
Esféricos
§ Instrumentos
para medir ángulos y líneas
·
Grafómetro
·
Circulo repetidor
·
Cadena métrica
§ Ejemplos
de cálculos trigonométricos
·
Frentes de fortificación
·
Línea de defensa
·
Ángulo flanqueado
o
Levantamiento de planos
§ Determinación
de los principales puntos de un país
·
Operación de detal
§ Planos
levantados con la plancheta
·
Declinatorio
§ Planos
levantados con la brújula
§ Planos
levantados con la espada de agrimensor
§ Resumen
de estos métodos
El nivel de los desarrollos no es trivial, como puede
verse en estas fotos:
La tipografía y la distribución del espacio no
respetan ninguna de las características de orden pedagógico que se suelen sugerir
(tipo de letra, ilustraciones, aire) esencialmente porque, en la época, no se
disponía de las ventajas actuales para la edición. A cambio, quien esto
escribió se preocupó por ser muy claro en cada una de las discusiones y cada
uno de los ejemplos desarrollados, en aras de lograr de los estudiantes la
mayor comprensión y de incrementar las posibilidades de éxito al poner en uso
algunos de los conceptos o metodologías.
El asunto es que un curso actual de Precálculo no es muy diferente de este texto, en cuanto
a programa de estudios. Desde el sucinto Precalculus
Mathematics in a Nutshell, de Simmons,
hasta el voluminoso Precálculo,
de Stewart, los contenidos básicos son los mismos. Lo que nos venden son
ediciones mejoradas en cuanto a la presentación y el diseño, y con muchos temas
que nunca serán tocados en el curso ni utilizados por la mayor parte de los
alumnos, en su vida.
Seguimos insistiendo en que el alumno aprenda cada uno de los métodos que la
tradición juzga valiosos, sin importar si eso es pertinente para la mayoría que
simplemente utilizará las matemáticas como recurso necesario, pero de lo que
prefieren prescindir, y para la minoría formada por los que quisieran ir más
allá y se empantanan en un cálculo numérico que, en realidad, no les importa.
¿Cuál es o debiera ser la esencia de la educación
matemática? Yo lo pondría en dos niveles:
- el de los alumnos que van a utilizar el
conocimiento matemático como herramienta y lenguaje en sus tareas
profesionales: albañiles y arquitectos, ingenieros de todo tipo, comerciantes y
licenciados en comercio, mercadólogos, médicos, etc.
- el de los alumnos que irán a una área de
ciencias, para desarrollar nuevos conocimientos o nuevas tecnologías, para los
que la investigación será un quehacer disfrutable
Sin embargo, hacemos cursos estándares para responder
a preguntas estándares que, de ninguna manera, benefician ni a unos ni a otros.
Para ambos grupos, el conocimiento y la comprensión profunda de los conceptos
serviría para ayudarlos a determinar las variables en un problema y establecer
las relaciones entre ellas, dando lugar al planteamiento simbólico. Para los
primeros, llegados a este punto, el uso de recursos tecnológicos y aplicaciones
debería llevarlos a encontrar una solución para el problema planteado. Para los
segundos, el descubrimiento de patrones, de clasificaciones de tipos de
problemas, los ayudaría a buscar soluciones generales, creando así nuevo
conocimiento.
Desde mi punto de vista lo que hay que construir
dentro de un curso de matemáticas es ese conjunto de actitudes, habilidades y
conocimientos que definen lo que se llama la
competencia matemática y que
deberíamos desarrollar en los alumnos. Apoyarlos para adquirir una disposición
hacia las matemáticas, la cual depende de los siguientes componentes:
- Conocimiento bien organizado y
flexiblemente accesible
- Métodos heurísticos, traducidos en estrategias de búsqueda para
analizar problemas
- Meta conocimiento, que involucra el
conocimiento acerca del propio funcionamiento cognitivo y el conocimiento
acerca de las propias motivaciones y
emociones
- Convicciones positivas relacionadas con
matemáticas
- Habilidades de autorregulación de los
propios procesos cognitivos y habilidades para regular los procesos y
actividades volitivas
El dominio integrado de las cinco componentes, dice De
Corte, debería resultar en el desarrollo
de esta disposición para el aprendizaje y el pensamiento experto, la cual
involucra el desarrollo de una sensibilidad para identificar situaciones donde
es relevante y apropiado utilizar el conocimiento y las habilidades, y una
inclinación para hacerlo. De Corte habla también de una competencia adaptativa que tendrían que adquirir los estudiantes,
la cual se traduce en una habilidad para aplicar procedimientos aprendidos
significativamente de manera flexible y creativa y es opuesta a la competencia rutinaria que consiste, principalmente, en la habilidad
para resolver ejercicios de clase de manera precisa y rápida sin entender mucho
lo que se trata, y que es justamente donde se centran los esfuerzos de muchos
de los docentes.
La competencia adaptativa se considera ahora como el fin último de la educación matemática,
precisa De Corte. Es importante, si no necesaria, con vistas a la adquisición
de la habilidad para transferir las habilidades y conocimientos propios
a nuevas tareas y nuevos contextos de aprendizaje. Y en este momento, esa es
una tarea urgente.
A pesar de todo lo anterior, la enseñanza de las
matemáticas, en México, sigue respondiendo a ese afán de saturar de hechos, de
fórmulas, de procedimientos, de mnemotecnias y de recetas a los alumnos.
Nos sigue pareciendo un objetivo importante que el alumno
sea capaz de utilizar series de Riemann para calcular integrales definidas, por
ejemplo, en lugar de que sepa cuándo y para qué necesita el concepto de
integral, saber plantear una integral cuando se requiera, y ser capaz de
resolverla utilizando una aplicación o algún software. Al final no saben ni
para qué sirven ni cómo calcularlas. La foto muestra la secuencia de
preguntas que fui creando para ayudar a los alumnos de un curso de Física para
Ingeniería en nanotecnología y en ingeniería biomédica a establecer los
elementos conceptuales y procedimentales para calcular un centroide:
En la década de los 70, el surgimiento de los CCH hizo
suponer que llegarían vientos de cambio a nivel medio superior. En la
actualidad, los profesores que participaron en su fundación lamentan que se
haya convertido en una prepa más, sin diferencias ni de forma ni de fondo. Las
pocas habilidades de lectura y de razonamiento de los egresados de las
secundarias producen programas de estudio de nivel remedial en los
bachilleratos, un alto índice de deserción y, para los que llegan a las
universidades, con honrosas excepciones, limitantes serias para una formación
de calidad.
Hace casi 200 años, en 1829, Evaristo
Galois había denunciado la pésima calidad de la enseñanza a nivel bachillerato,
en su país. Se enseña a los jóvenes a
pasar exámenes, dijo, señalando el contubernio entre los profesores y los
editores de los libros de texto, en Francia, en su época. Seguimos en eso:
ENLACE, PISA, CENEVAL, etc. dictan lo que los alumnos deben aprender con el
triste resultado de que al terminar los estudios, particularmente los que
abandonan la escuela en algún momento, no pueden ni saben cómo hacer uso de lo
que supuestamente aprendieron. El mismo Gerver, al que nos referimos al
principio menciona, en la entrevista para ABC que:
Si las escuelas tienen pasión y confianza por lo que hacen, pueden
desarrollar el sistema que más se ajuste a sus necesidades. No hay un único
método. Aunque compartan algunas características, cada país es único y
diferente y debe encontrar lo que funciona para él. Lo que ya no funciona es
el sistema educativo que entrena para aprobar exámenes.
(El subrayado es mío).
Y añade:
No se trata solo de adquirir conocimientos. Es
absolutamente necesario que aprendan a resolver
problemas, a pensar por sí
mismos, a colaborar, a trabajar
en equipo, a saber adaptarse
a los cambios de forma permanente. Y, sobre todo, a no sentarse a escuchar,
sino a seguir
aprendiendo conceptos por su cuenta. Las
capacidades más importantes que un joven puede tener son las habilidades
personales.
Pero para los alumnos, en general, un curso es bueno
si “lo pasa”, de preferencia con altas notas. Los profesores, particularmente
en instituciones privadas, se someten a la evaluación que hacen de ellos los
alumnos, sacrificando en ocasiones la calidad de los aprendizajes por los
puntos de la encuesta de satisfacción, so pena de no ser recontratados. Los
padres de familia siguen creyendo que las notas obtenidas hablan de: 1) la
calidad de la institución educativa y 2) la inteligencia y buena preparación de
sus hijos. Las instituciones utilizan esos puntajes que obtienen los alumnos
para 1) conservar la matrícula y 2) generar los indicadores que significan
acreditaciones y fondos. En apariencia, todos ganan.
Sin embargo el desarrollo tecnológico ha hecho que ese
tipo de conocimiento enciclopédico sea obsoleto y que las altas notas en esos
cursos no sean significativas en un mundo laboral que exige muchos know how. Yo dudo de que,
profesionalmente, alguien realmente se ponga a imitar a Newton haciendo tablas
detalladas para calcular algo que en Excel se hace de manera muy sencilla y
rápida.
De la misma manera, dedicar un curso de Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias a que un alumno aprenda a
calcular a mano menos de lo que el Wolfram Alpha hace en minutos, me parece una
pérdida de tiempo que podría emplearse en habilitarlo para utilizar las
herramientas en la solución de problemas reales, generando pensamiento crítico
y creativo.
Por supuesto, el rol del docente tendría que cambiar.
Y terminaría el papel preponderante de los libros de texto en lo que llamamos
educación. Nuestras seguridades al dar clase y hacer que los alumnos aprendan a
contestar de manera preestablecida tendrían que dar paso a un quehacer de
colaboración e investigación activa, lleno tal vez de incertidumbres. La
pérdida del control, que a veces no es tan caro, sería una consecuencia. Y tal
vez por eso seguimos haciendo lo mismo que aprendimos de nuestros profesores
(los míos eran otra cosa, aclaro).
Pero hay otras maneras de hacer las cosas. Perrenoud
dice que el uso de la estrategia didáctica del Aprendizaje Basado en Problemas
(ABP o PBL), a nivel universitario, ni siquiera debería cuestionarse. El
acercamiento a ese tipo de trabajo puede comenzar desde la escuela primaria,
por supuesto. Y hay que aclarar que lo que define a un problema depende del
grado y el desarrollo de los alumnos.
En ese sentido voy a comentar brevemente acerca del
uso de Desmos para generar
aprendizajes sobre las cónicas, como lo plantee y desarrollé en un curso de Geometría Analítica (Matemáticas
IV) en el Colegio del Bosque, en León:
Una vez que habíamos construido la ecuación ordinaria
de la circunferencia, a partir de un problema propuesto, se les pidió hacer un dibujo creativo en Desmos utilizando
rectas y circunferencias, como tarea. Las preguntas (vía Edmodo) comenzaron a llegar: "¿podemos usar otro tipo de
curvas?". No solamente aprendieron a graficar otras curvas y a establecer
las ecuaciones ordinarias correspondientes (viendo la galería de dibujos en Desmos o los videos en el canal de
Desmos en YouTube) sino que, además, aprendieron a colorear utilizando
desigualdades y a limitar dominios y rangos. Al terminar cada etapa de dibujos
teníamos una sesión de institucionalización de los aprendizajes generados, muy
en el estilo de las dialécticas de Brousseau.
Hablando solamente de cursos de/que requieren de
matemáticas, una de las experiencias más ricas la tuve con los alumnos de
Análisis Numérico en la Ibero Tijuana, en 2011. Alumnos muy interesados,
participativos y colaborativos. El curso tuvo como soporte un grupo
cerrado en Facebook. Las discusiones, las aportaciones, los
problemas que se les propusieron para generar los aprendizajes requeridos,
están en las publicaciones del grupo. Todos los alumnos de ese curso son
exitosos ingenieros graduados. El grupo está ahora abierto para que sea visible
públicamente y puedan ser reutilizados los materiales.
Tal vez lo que hace falta es integrarnos a grupos de
discusión sobre los programas de estudio actuales, en todos los niveles, para
colaborar en una investigación seria, no pensada para solamente hacer puntitos
para el SNI, acerca de los conocimientos, habilidades y actitudes que el estudiante mexicano debiera generar y
poner a prueba al terminar cada ciclo escolar. A nivel superior, determinar las
competencias profesionales que son requeridas del egresado de cada carrera, y
replantear los planes de estudio y las metodologías de aprendizaje que ayuden a
desarrollar esas características en ellos.
Es una invitación.
Erik
De Corte. Learning from
instruction: the case of mathematics. Learning
Inquiry, (2007) 1:19–30. Springer.
