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domingo, 24 de septiembre de 2017

Mujeres y conocimiento

Advertencia: Se trata solamente de mis notas, para evitar que yo divague de más en una presentación de 20 minutos en Casa Cuatro, Guanajuato, el 25 de septiembre de 2017. De paso, para que nadie se distraiga demasiado tomando notas sobre mi rollo (a veces ocurre) y, a cambio, dirigirlos a esta publicación.



Mujeres: por género asociado al nacimiento e independientemente de su identidad, pero mujeres.

·         Que aman y sufren como las demás (Marie Curie) y que reciben apoyo de hombres (Einstein)
·         Que comparten con las minorías los estigmas y la discriminación porque les moeurs de los tiempos, las sociedades y las religiones así lo determinan, antes (Hipatia) y ahora (Malala), los fundamentalistas de todos tipos y regiones.
·         Que se visten de hombre o se meten de monjas para seguir su vocación (Sor Juana)
·         Que deciden luchar al lado de su pareja (muchas soldaderas voluntarias) o acompañarlos cumpliendo su rol tradicional (otras soldaderas)
·         Que luchan por convicción (las Serdán, las coronelas, doña Josefa y Leona Vicario)
·         Que enferman y mueren como cualquier otra (como Maryam Mirzakhani, ganadora de la medalla Fields en 2014)
·         Que se enfrentan, muchas más veces de lo que imaginamos, a las zancadillas y golpes bajos de otras mujeres, esas que deciden emplear las "armas femeninas" para conseguir lo que quieren a costa de lo que sea; porque el empoderamiento que vemos en la película “Talentos ocultos”, la solidaridad entre mujeres, no se da en países como el nuestro (tal vez ni entre los hombres)
·         Mujeres bellas, como Hedi Lamarr y otras actrices, que son científicas o matemáticas o ingenieras y que dejan huella en diferentes campos.

En términos de ciencia y matemáticas resulta que, proporcionalmente y respecto de sus pares varones, hay más mujeres en matemáticas que en física. Y una hipótesis bastante aceptable se maneja en “Pythagoras' Trousers: God, Physics, and the Gender Wars", de Margaret Wertheim.

En discusiones al respecto, con académicas y académicos de otras áreas, artistas e intelectuales, pareciera que el asunto de la discriminación femenina no es privativo de las áreas de ciencia y matemáticas, sino que se extiende a todos los ámbitos y en todos los tiempos.

El Popplet (aquí como imagen) que preparé como apoyo gráfico es solamente un muestrario de casos, no exhaustivo, donde la discriminación femenina se da. Y es parte de un sistema de discriminación más general, de ahí la respuesta de Neil de Grasse Tyson a la pregunta de si las mujeres son discriminadas o están mal representadas en la ciencia. No son solamente las mujeres y los negros, lo han sido los musulmanes y los representantes de culturas sometidas a una dependencia cultural, política o económica (basta ver el caso de Ramanujan).


¿Por qué llama tanto la atención el caso de las ciencias y, particularmente, el de las matemáticas?

Hipótesis:
  1. El pensamiento matemático está asociado (estúpidamente) a un alto nivel intelectual; la cultura dominante exige que mujeres, negros y todas las otras “minorías”, que están revirtiendo la proporción, sean menos capaces que los representantes de la cultura dominante, precisamente 
  2. Siendo, en su origen, un elemento de dominación política está asociada al ejercicio del poder de un gobernante, generalmente masculino, aunque se contesta cada vez más por los y las representante de todas las clases dominadas, particularmente por las representantes del 50% de la población. 
  3. En su libro “La perversion mathématique. L’oeil du pouvoir” , Arnaud-Aaron Upinsky cuestiona: “En términos de poder, ¿son las matemáticas el "imperio del mal"? Declara que el sistema escolar nos hace creer que las matemáticas son la principal referencia de la inteligencia mientras que “en realidad, terminan siendo un instrumento de selección y de represión, que es aún más astuto porque pretende ser "neutral". El modelo matemático ha dado forma a un mundo en el cual la cantidad sola es importante; ha entrado en nuestras conciencias hasta el punto de hacernos confundir "inteligencia verdadera" con "habilidad mental". Tal vez un poco exagerado, hay una buena parte de verdad en ello. Para comenzar, basta con utilizar la “nomenclatura” matemática para desanimar a o tratar de imponerse sobre los que entienden menos… y comienza con muchos de los profesores.
  4. El lenguaje/conocimiento matemático es indispensable para acceder a las ciencias (una buena lectura al respecto es Descartes' Dream. The world according to mathematics, de Philip J. DavisReuben Hersh). Más representantes de las culturas hasta ahora sometidas representan un reto y un descalabro para los de los que controlan y deciden por todos
  5. Y podría seguir


¿Dónde comienza esta discriminación hacia las mujeres? En la propia casa/familia.
Se imponen y se dejan imponer los estereotipos tradicionales, incluso de manera inconsciente: ser popular, ser considerada atractiva, el pelo, el vestido, los modales, y un largo etcétera. A ello contribuyen, si no los propios padres y hermanos, sí los parientes, amigos y hasta los profesores. “Eres poco femenina”, “Pareces marimacho”, “Mujer que sabe latín…”, etc. Perseverar en lo que uno ha decidido como carrera, a partir de una vocación, no es sencillo. Y en el camino encontrará obstáculos de diferentes estilos y en diferentes entornos, pero también el reconocimiento de gente que vale mucho la pena. Es decir: si uno sabe lo que quiere y está dispuesto a dejar de lado las presiones familiares, de pareja y sociales y a no sacrificar su integridad, se puede. En eso no creo que haya mucha diferencia con otras áreas de conocimiento.

En contra de nuestra vocación influyen hasta los modelos de mujeres de ciencia que nos han sido transmitidos, desprovistos de su parte humana (y Bruner[1] tiene mucho que decir al respecto). Los prototipos son Hipatia y Marie Curie; curiosamente apenas nos enteramos de los casos de Ada Lovelace y de Hedi Lamar como contribuyentes al desarrollo de la tecnología, por citar solamente dos.

A través de lo poco que se sabe de Hipatia, nos enteramos de que fue la educación de su padre, Teón de Alejandría, lo que desarrolló el carácter y pasión de su hija:

“Teón se reusó a imponer a su hija el rol tradicional asignado a las mujeres y la educó como hubiera educado a un hijo en la tradición griega; transmitiéndole su propio oficio”. Ella tuvo los privilegios de un académico respetado en la universidad de Alejandría, a lo cual hasta ese entonces solamente podían aspirar los hombres, dedicada al aprendizaje y la enseñanza.
En los tiempos que corren, seguramente Hipatia sería desacreditada por el SIN por su escasa producción matemática original.
Por otro lado, se le ha convertido en mártir de la ciencia cuando, en realidad, “Hipatia de Alejandría ha llegado a encarnar todo lo que se perdió a la civilización en el tumulto de la intolerancia religiosa y la destrucción que engendra.” Fue víctima de los conflictos políticos y religiosos entre Cirilo, el obispo intolerante y sanguinario, y Orestes el nuevo prefecto imperial de Egipto, quien se resistía a la invasión eclesiástica en su jurisdicción civil. Cirilo acusó a Hipatia de impedir que Orestes se reconciliara con Cirilo.
Posteriormente, unos 200 años después de su existencia, el obispo
Juan de Nikiû la describió como se suele describir a las mujeres que viven una vida conforme a sus reglas e intereses y que son escuchadas por su sensatez:
“Y en aquellos días apareció en Alejandría una hembra filósofa, una pagana llamada Hipatia, que siempre se dedicaba a la magia, a los astrolabios y a los instrumentos musicales, y engañó a muchas personas a través de las asechanzas satánicas, y el gobernador de la ciudad [ Orestes] la honró en gran manera, porque ella le había engañado con su magia y él dejó de asistir a la iglesia como había sido su costumbre ... Y no sólo hizo esto, sino que atrajo a muchos creyentes a ella, y él mismo recibió a los incrédulos en su casa.”

Marie Curie, por su parte, se nos presenta siempre como el estereotipo de la mujer dedicada a la ciencia, alejada de cualquier tipo de feminidad, afecto u otro interés fuera de la ciencia pura. Se le considera una mujer emocionalmente fría y, al decir de una ex alumna, hasta amargada por falta de afectos. Baste con leer su diario o, más accesible, el libro de Rosa Montero “La ridícula idea de no volver a verte”.
Es cierto: Marie muestra que para trabajar uno necesita lo mismo que un hombre: ropa de trabajo, pasión, y nada más; ni siquiera estaba preocupada por el reconocimiento (que llegó) sino por obtener los recursos para continuar con su trabajo. Mientras que es imitado el estilo de Jobs, por ejemplo, de siempre vestir de la misma manera para no perder el tiempo pensando en qué ponerse, en el caso de Marie se considera hasta patético que vistiera siempre de la misma manera, por no hablar de la ausencia de coquetería.

El libro clásico de Bell, “
Men of Mathematics”, publicado originalmente en 1937, incluye propiamente a sólo tres mujeres: Sophie Germain, Sonja (Sofía) Kowalewski y Emmy Noether. Ni Hipatia aparece en ese recuento que trata solamente de quienes se dedicaron a las matemáticas puras. Hay sin embargo una nota al respecto de las Sofía mencionadas (aquí en traducción libre): Sofía parece ser un nombre afortunado en matemáticas para las mujeres -siempre y cuando se afilien con maestros de mentalidad abierta (Pág. 261, edición de julio de 2008 por Touchstone, Simon and Schuster, Inc.). Probablemente siga siendo cierto en muchos lugares.

Otro punto sobre la falta de reconocimiento es que mientras en otros países los matemáticos y las matemáticas están presentes en las redes (incluidas algunas medallas Fields) a través de las cuales colaboran y comparten sin demasiada pretensión ni arrogancia, de manera que su trabajo llega a muchas más personas, en México seguimos en el culto a la personalidad encerrada en su torre de marfil perfectamente centrados en un perfil formal (desde el disfraz) e inaccesible para los profanos, cargados de ego ("si sabes quién soy", repetida hasta que le dices su nombre, ... y lo malo es que SI sabes quién es y más) y, por supuesto, alejadas de la “banalidad de las redes sociales”.

Y luego nos preguntamos por qué muy pocas mujeres se adentran en la ciencia y las matemáticas y por qué pocas sobresalen o son reconocidas.
 
La película “Con ganas de triunfar” muestra muchas de las situaciones en las que son más que evidentes las razones para la escasa participación de hombres y mujeres, pero particularmente de las mujeres, en las áreas antiguamente llamadas ”duras” a través de los estudiantes que deciden permanecer hasta el final del curso de Cálculo buscando continuar sus estudios:
  1. Se necesitan ganas
  2. En el camino pueden surgir retos, dudas, enojos, etc. por lo que se está dejando de lado (vida social, sentido de moda y pertenencia a los grupos y pandillas)
  3. Romper con las tradiciones familiares
  4. Asumir que los privilegios se ganan con base en el puro trabajo, dedicadamente, realizado con el mayor esmero, y que puede robar horas a las distracciones e, incluso, a parejas y familias demandantes
  5. La satisfacción no está ni en los diplomas, ni en las menciones en artículos y revistas, ni en el reconocimiento de instituciones como el SIN y el propio Conacyt (para no hablar de las universidades) que privilegian los campos tradicionales y desde un punto de vista muy tradicional de la formación y la investigación, sino en el placer de hacer lo que uno hace gustosamente, de manera honesta y responsable; en el sentido del propio trabajo que es utilizado y compartido por otros; el respeto de la comunidad y las invitaciones a formar parte de grupos selectos


Sí, a veces uno quisiera que eso se tradujera también en holgura económica. Pero hay de placeres a placeres. Uno, primordial, es la satisfacción de desarrollarse sin deber favores a persona alguna. Y, derivado de eso, les aseguro que poder mirar a los ojos de un hijo que ha recibido todos los beneficios de los privilegios de ser uno quien es, de tener los amigos que tiene y de haber ganado lo ganado con honradez y ética, no tiene comparación.





[1] Jerome S. Bruner. Aprendizaje y pensamiento. En Aprendizaje escolar y evaluación. Paidós Educador. México, 1997. Pág. 117.

lunes, 26 de diciembre de 2016

12 de noviembre en el CIPEC

Dos sábados después de la sesión del 29 de octubre nos volvimos a reunir. El 5 de noviembre estuvo a que los chicos desarrollaron la tarea asignada, trabajada con Toño y la maestra Elda.

La foto muestra la construcción que entregaron al llegar a la sesión y sobre lo que conversaríamos en la segunda parte. Es muy sencillo evaluar el desempeño en este tipo de tareas, pero no el proceso. Entre otras cosas la escuela tradicional es más enfática en la vistosidad de los constructos que en el cuidado de su realización; por otra parte, el uso eficiente de la regla y el compás, o las escuadras, no es una prioridad en la escuela y un más o menos es suficiente. Y se observa a primera vista.
Un estudio de hace unos 25 años resaltaba que las niñas obtenían mejores notas que los varones, hasta la secundaria, simplemente por el esmero en la presentación de trabajos y no por la calidad de los contenidos. Y eso se refuerza todavía.


La primera parte de la sesión estuvo dedicada a hablar de pesos y medidas. En alguna sesión anterior algunos de los chicos habían declarado no saber lo que significaba un kilo, que es el nombre común para kilogramo cuando hacemos compras. Y me pareció significativo. Por supuesto, el significado de "kilo" como prefijo también se les escapaba.

Provista de una balanza de platillos comencé por preguntar si sabían qué era y para qué servía. Dijeron que no. Aproveché que dos empleadas del CIPEC habían entrado al aula para sacar algunas sillas para pedir a una de ellas, la señora Lolis, que respondiera a la pregunta, lo cual hizo sin problema. Con su respuesta puse en funcionamiento la balanza utilizando un plumón como objeto a pesar:

Discutimos también algunas de las aplicaciones del concepto de balanza, y los otros tipos de balanzas, como la de cocina que también llevé a la sesión.


Pasamos luego a plantear un problema para que ellos resolvieran (sin tener el kilogramo de frijol)


Las respuestas se concentraron en el pizarrón, como siempre:


En la segunda parte de la sesión retomamos la construcción entregada al incio. Primero, discutir conceptos muy básicos, utilizados para saber que lo que construyeron no estaba bien elaborado. Hay que recordar que se trata de un taller de matemáticas que trata de combinar el arte y la vida real, pero el fundamento matemático es esencial.
Entre las cosas que los alumnos deberían de haber podido calcular está el largo de una de las columnas de papel que hicieron en función de su ubicación sobre lo que debería ser la recta que contuviera los centros de las bases de las columnas. Y viceversa: determinar la altura de una de tales columnas dependiendo de la posición en que fuera a ubicarse.


Para no variar, cuando se trata de hacer frente a los errores que cometemos, surgen "los culpables". Y cada uno tiene uno o varios en mente: los maestros, los padres de familia, las instituciones y los propios chicos, todo depende a quién se le pregunte.




Continuamos hablando sobre lo que debió guiar su construcción:

De:

Pasamos a hablar de escaleras y sus inclinaciones, y de la pendiente como medida de la inclinación sin utilizar conceptos trigonométricos todavía. Como es mi costumbre de toda la vida, mi cuerpo sirve como instrumento para ayudar a visualizar lo que digo. De una pendiente cero (no inclinación)


A una pendiente positiva (para quienes me observan), pasando luego por todas las opciones:


Para introducir los conceptos matemáticos de manera correcta y útil, no como una mera fórmula:




Para desmitificar y ayudar a entender uno de los conceptos fundamentales en las aplicaciones modernas de las matemáticas:




Hasta ahí, porque hay que dejar madurar algunas cosas antes de ver si servirán para continuar.








domingo, 4 de diciembre de 2016

Del 15 al 29 de octubre, en CIPEC

La siguiente actividad en CIPEC se desarrolló el 22 de octubre pasado.

Una dificultad que encuentran los alumnos. en diferentes niveles e instituciones educativas, es la de construir el espacio en tres dimensiones. Mi primera observación en alumnos universitarios ocurrió en 2010, con los alumnos del curso de Física Universitaria, primer semestre.

Buena parte de ese grupo exhibía una nula capacidad para establecer los cuatro puntos cardinales, a pesar de estar viendo el mar Pacífico y la línea que marca la frontera entre San Diego y Tijuana por la ventana de la universidad. Las dificultades para resolver ejercicios tradicionales tomados de un libro de texto hicieron aflorar esos "detalles": Un avión viaja 450 Km al Norte y luego 370 km al Este ..." resultó ser un reto.

Luego vino la representación de vectores en tres dimensiones y las dudas aparecieron en la mayoría. Hicimos un taller sabatino para ayudarles a construir el espacio y proporcionarles elementos de perspectiva y dibujo técnico (isometría, especialmente).

En el festejo de aniversario que los chicos del CIPEC organizaron por su cuenta, con el apoyo de maestros y autoridades, una de las actividades fue mostrar a sus padres y a la comunidad los murales que han creado y el huerto, así como exponer sus aprendizajes. Me parece que e logro mayor, en un año de trabajo, es verlos tomar la palabra, organizarse y expresar lo que les gusta y lo que no.

Cuando los chicos describieron el trabajo sobre los murales, explícitamente comentaron que Toño (su maestro titular), había dibujado unos "exágonos" y los tiralíneas con una regla, refiriéndose al primer mural de la imagen (a la izquierda), para que ellos pintaran con los colores que habían seleccionado.



En una sesión anterior una de las chicas había comentado sobre las dificultades que estaba teniendo con el dibujo en isométrico (ni siquiera tenía claro el nombre) en el bachillerato.
Con todo eso en la cabeza preparé un par de "instrumentos". Mis inspiradores: Durero y Leonardo.

La cuadrícula, hecha con popotes e hilaza, ciertamente no es de lo más preciso que existe, pero cumplió su función como instrumento para reconocer lo que vemos, independientemente de lo que sabemos.







El otro constructo, sin nombre aún, serviría para ilustrar lo que es un punto de fuga y por eso los cordones no están amarrados, fijos, lo que permite moverlos y mostrar la caja desde diferentes ángulos.



Para arrancar hablamos de los bordados y textiles y las diferentes técnicas, ancestrales algunas. En la escuela primaria (pública, para niñas) a la que asistí en Tepic, las tardes se dedicaban a aprenedr todo tipo de bordados y tejidos, incluído el bordado en seda para hacer un mantón. Luego, algunos documentales sobre el arte de hacer rebozos me hicieron conocer la destreza visual y manual de quienes los elaboran. Los jóvenes de este grupo no tienen experiencia en ninguna de estas artesanías

El punto de cruz y el bordado sobre deshilado fueron buenos referentes para terminar hablando de pixeles (concepto que los chicos desconocían; al buscarlo con ayuda de sus celulares dieron la definición de Wikipedia). La historia me la inventé, ciertamente.




 Las imágenes siguientes muestran el uso de ambos instrumentos. Primero: entrenar el ojo para observar y registrar lo que vemos, no lo que pensamos que es.



La posibilidad de afinar, usando mallas más finas:



Ver un ángulo (la esquina superior del salón, en este caso)






Complementamos con el otro artefacto: cómo se ve una caja (literalmente) desde diferentes puntos de observación.



La representación plana:




Dado que yo estría ausente por dos sábados, el trabajo planeado para que Toño lo desarrollara con ellos fue la siguiente:


  1.        Llevar un envase de cartón: por ejemplo, un tetrapack (primero los prismas). Los chicos formarán un círculo alrededor del envase, de manera que cada uno pueda verlo desde un punto de vista particular (puedes tomar foto de cada uno, desde detrás de su cabeza, para captar lo que el chico ve). Cada uno deberá dibujar lo que ve.
  2.       Mismo ejercicio, pero ahora con un objeto distinto: puede ser una silla.
  3.       Mismo ejercicio, pero ahora con una botella transparente con agua hasta la mitad de la altura
En cada caso, ellos deberán reportar, junto a su dibujo, las dificultades que encontraron. Y todos pueden contrastar su dibujo con la foto, porque la foto muestra lo que ven.
Si quieres extender el ejercicio, puedes repetirlo, desde el huerto, cada quien dibujando el edificio (la mirada que tú fijes) y contrastar las producciones. 

Para el siguiente sábado (5 de noviembre) sería interesante que pudieran construir con popotes o palitos de paleta o cartulina recortada, una alameda (una fila de arbolitos) como se vería en perspectiva a lo largo de un camino. El punto de fuga lo podrías establecer tú (pienso en un escenario, en el que en una distancia muy corta, equivalente a lo ancho del foro, crean la ilusión de la perspectiva).

Las fotos dan cuenta del trabajo realizado y de las dificultades que todavía experimentaban en la sesión del 29 de octubre:

 

 

 

 
 













martes, 8 de noviembre de 2016

Antecedentes y consecuentes de la factorización de expresiones algebraicas

A través del Dr. César Cristóbal Escalante fui invitada a presentar un curso a profesores de matemáticas de bachillerato, en el marco del XLIX Congreso de la Sociedad Matemática Mexicana (SMM), el 28 de octubre pasado, en la Universidad Autónoma de Aguascalientes.

Mi compromiso con los participantes fue poner a su disposición todos los materiales utilizados, en una entrada de este blog.  Es lo que encontrarán a continuación. Todos los enlaces a todos los recursos utilizados están ahí mismo disponibles, anillados uno dentro de otro en ocasiones.


Antecedentes y consecuentes de la factorización de expresiones algebraicas

Presentación

En experiencias con alumnos de bachillerato se detectan problemas que ellos encuentran cuando se trata de factorizar expresiones polinomiales o racionales. Los ejercicios que se les asignan pueden tener como finalidad:
  •         La determinación de raíces enteras y/o racionales de un polinomio
  •         La simplificación de una fracción algebraica o una suma de fracciones algebraicas


Los problemas, dificultades y frustraciones que los estudiantes encuentran pueden resultar de:
  •          El desconocimiento de reglas más o menos universales que les permitan llevar a cabo ese trabajo, en lugar de aprender cada una de las reglas y casos que suelen presentarse en un libro de texto comercial
  •          La confusión que surge cuando la expresión a factorizar contiene dos literales
  •         Desconocer la relación entre las raíces de un polinomio y los factores lineales en su factorización
  •         La falta de antecedentes explícitos que les permitan recuperar estrategias en la operación con expresiones polinomiales y racionales
  •        Encontrarse con un caso en que la factorización no se da en los enteros y desconocer las otras posibilidades para determinar raíces racionales o, peor, aproximar raíces irracionales
  •         Desconocer aplicaciones que le permitan verificar por su cuenta, de manera independiente, si ha resuelto un ejercicio correctamente antes de entregar una tarea mal hecha y de tratar de entender los errores cometidos de manera independiente

En este curso/taller hay dos propósitos principales:
  1.  Responder a la pregunta de por qué es necesario aprender a factorizar expresiones polinomiales y aplicar ese aprendizaje para resolver los ejercicios que se les asignan
  2.  Proporcionar elementos que permitan al profesor y al alumno recuperar las principales ideas y estrategias involucradas en la factorización de expresiones polinomiales tomando en cuenta la estructura del anillo de polinomios y su isomorfismo con el anillo de enteros.

De paso, vislumbrar estrategias de factorización y de control del proceso, por el mismo alumno, que permitan aligerar la carga de memorización que suele requerir un curso tradicional de álgebra intermedia.



Programa de actividades del curso/taller
I.              Primeras preguntas (a responder una en cada uno de los equipos previamente formados):
1.     ¿Cuál es la importancia de la factorización de polinomios desde el primer curso de algebra al que los alumnos son introducidos?
2.     ¿Cuál es la importancia de factorizar siguiendo los procedimientos tradicionales contemplados en los libros de texto?
3.     ¿Cuál es la importancia de factorizar en el futuro académico de los estudiantes?
4.     ¿Cuál es la importancia de todos esos procesos y aprendizajes en el futuro de cualquier persona que cursa un bachillerato?

Tiempo: 15 minutos

Recuperación de la experiencia en voz de los representantes de los equipos: Tiempo 10 minutos

En síntesis, las aportaciones de los participantes apuntan a la necesidad de aprender a factorizar para/por:
  • š  Resolver ecuaciones
  • š  Porque es parte del programa de estudios
  • š  Es similar a un juego de abalorios


II.             Ejercicios de factorización tomados del libro de Uspensky, Theory of Equations (uno diferente para cada equipo, seleccionado de manera aleatoria de entre los propuestos)

 Tiempo: 5 minutos


Los participantes trabajando sobre los ejercicios propuestos






III.            Presentaciones, en el orden en que se discutieron con los participantes:

a.     El lenguaje formal para brindar un acercamiento a la factorización de polinomios partiendo de un conocimiento suficiente de la factorización de enteros. No se trata de perderse en el lenguaje formal ni mucho menos de proponerlo a los estudiantes, sino de aprovechar el comportamiento idéntico de las estructuras de enteros y polinomios, con las operaciones de suma y producto usuales en cada uno, para dar al estudiante herramientas de comprensión y de desarrollo de habilidades en la factorización de polinomios

b.     Algunas opiniones sobre la importancia de la factorización y sus aplicaciones para conocer puntos de vista y ejemplos previamente discutidos por matemáticos y educadores sobre esta problemática generalizada

c.     Factorización de polinomios y educación matemática donde discutimos e integramos el trabajo de la sesión hasta este momento y las reflexiones y experiencias de los participantes.

               Tiempo: 35 minutos


IV.           Cierre: a la luz de todo lo anterior, ¿Qué es lo que el alumno debe saber sobre factorización y para qué? ¿Qué estrategias emplean? ¿Qué funciona?

Las preguntas se respondieron a lo largo de las dos horas de trabajo intenso.



Al terminar: las fotos con los amigos queridos, el diploma y los regalos:
César Cristóbal, una servidora, Elías Loyola, Ana Lilia Rodríguez

Regalos

comprobante ;)


Agradezco a todos los que hicieron que esto fuera posible por su apoyo y por su participación.