Mi experiencia frente a las dificultades de los estudiantes Apuntes para un taller

 Cuando comencé a trabajar como docente de matemáticas, cinco grupos de primer grado en una secundaria técnica en la ciudad de México, sin preparación previa para desempeñarme como maestra ni interés manifiesto por semejante actividad, recuerdo (y lo he escrito muchas veces en blogs y  artículos sobre la docencia) que mi primera sorpresa no fue por las carencias en matemáticas que mostraban los chicos (mínimas comparadas con lo que constato ahora incluso en las universidades privadas más prestigiosas del país) sino por la incomprensión del lenguaje que supuestamente deben ser capaces de manejar. Por supuesto, las primeras manifestaciones se dieron respecto al lenguaje utilizado en matemáticas el cual, según yo, debieran conocer.

Para mí era incomprensible que los chicos no entendieran lo que significaba “máximo común divisor” por ejemplo, puesto que en ese título está contenida la definición. Me llevó un par de semanas y unos cuantos experimentos darme cuenta de que:

1. La enseñanza por la que habían pasado los hizo memorizar nombres como etiquetas, desligados de cualquier significado
2. Los algoritmos relacionados con esas etiquetas estaban vacíos porque nunca se construyó significado para ellos
3. El problema de lenguaje no era solamente en lo referente a matemáticas

En la época, 1972, yo todavía era estudiante de licenciatura y nunca había tenido dificultades para comprender un texto. Sin más evidencia que lo que observaba con los chicos de los cinco grupos, hice mi primer par de estudios totalmente empíricos. Como tareas les pedí:

• Que escribieran lo que era un día regular, entre semana, desde que despertaban hasta que se dormían
• Que escribieran su biografía 

La composición de los grupos era heterogénea: chicos cuyos padres eran ingenieros en el Instituto Mexicano del Petróleo (situado justo frente a la escuela) y chicos hijos de campesinos que venían desde las pirámides (Teotihuacán), por ejemplo; chicos que tomaban cursos de idiomas o de música o de danza o de karate por las tardes, chicos cuyos padres (ambos) trabajaban y entonces debían llegar a sus casas a ocuparse de disponer la mesa para la comida y ayudar en tareas domésticas, chicos que trabajaban por las tardes y hasta parte de la noche para apoyar a la economía familiar. Los conflictos familiares eran igualmente variados y, en algunos casos, muy intensos.

Todo lo anterior se reflejaba en sus escritos. De las actividades desarrolladas en un día regular podía calcularse un promedio de 5 horas de televisión por día. Mientras menos favorecidos económicamente más horas de televisión al día. En la escritura de su autobiografía la falta de lenguaje y de claridad era muy evidente. En el caso más grave que recuerdo el chico se describía en el estilo de las estampitas de los héroes que se venden en las papelerías: “Fulanito de tal. Nació en ____ el día ____. Sus padres fueron ____ y ____.”

Mucho tiempo después, a través del análisis de mi propia experiencia como estudiante a lo largo de los años, de las de mis estudiantes en todos los niveles y de la de mi hijo, cuando comenzó a mostrar sus habilidades, comprendí que la adquisición temprana de un lenguaje suficiente y claro era lo que estaba en la base de la comprensión en matemáticas y cualquier otra área de estudio, en cualquier nivel. Adicionalmente, la lectura de los trabajos que encuentran relaciones de causa-efecto entre lenguaje materno y matemáticas, o los trabajos sobre la adquisición del lenguaje y la lectura de Emilia Ferreiro confirmaron mi hipótesis.

En aquel momento, y después de revisar y analizar las producciones de los chicos, lo primero que hice fue dedicar una semana por grupo (4 horas) a construir un lenguaje que nos permitiera comunicarnos sin muchos tropiezos y a crear un ambiente de confianza para que pudieran expresar sus dudas sin temor. Por mi parte, comencé a ver las series de televisión que habían mencionado en sus escritos para poder crear metáforas que les hicieran sentido.

Entonces vino la parte del lenguaje matemático: máximo común divisor significa “el mayor de los divisores comunes a dos números enteros dados”, y cada palabra tiene significado preciso. Común no significa vulgar, por ejemplo; significa que es algo que corresponde a dos o más sujetos. Batman y Robin tienen en común que aparecen en la misma serie de caricaturas (en la época); todos ustedes tienen en común que están en este grupo; etc.

Lo que puedo testimoniar es que, aunque parece un proceso lento, esta manera de trabajar permite luego avanzar con velocidad uniformemente acelerada porque se va construyendo cada concepto, cada proceso, sobre cimientos sólidos.

El proceso anterior es algo que he repetido con cada uno de los grupos, de cualquier nivel, al inicio de un curso. Establecemos reglas de convivencia que nos permitan trabajar en un ambiente de confianza y respeto, además.

Por otro lado, en lo que concierne a los contenidos de los cursos, lo que encuentro muy necesario es tomar en cuenta el pasado académico del estudiante (del grupo y de las individualidades más notables) para construir un puente que les permita llegar al punto de inicio del curso. En las condiciones actuales, tomando como punto de partida los lamentables programas educativos de todos los niveles, es prácticamente imposible esperar que un chico que se inicia en el álgebra pueda tener éxito sin un antecedente numérico.

Hay que tomar en cuenta que el conocimiento pitagórico sobre los números (Libro II de los Elementos de Euclides) se sitúa hacia los siglos V y VI antes de Cristo, mientras que el álgebra desarrollada por Al-Jwarizmi data del siglo IX después de nuestra era y el desarrollo del álgebra muy en la forma en que pretendemos que la aprendan los alumnos en el bachillerato se desarrolló en Europa, en Italia y Francia notablemente, a partir del siglo XV.

El desarrollo de la pura noción de numero negativo tiene una duración de alrededor de quince siglos, de acuerdo al análisis de Georges Glaeser en La epistemología de los números relativos[1]: “desde la época de Diofanto hasta nuestros días” dice. Porque una cosa es manipular los números (así sea con precisión, como ocurría con los matemáticos incluso notables) y otra cosa es comprender absolutamente el concepto.

Glaeser comenta que “Numerosos son los maestros que no sospechan que el aprendizaje de las reglas de los signos puede comportar dificultades.” Y suponen que es un problema del alumno. Incluso, dice: “Hans Freudenthal (uno de los matemáticos y educadores en matemáticas que más han contribuido a establecer las dificultades en el aprendizaje de esta materia, consignado en su obra clásica Mathematics as an Educational Task[2] y fundador de la revista especializada Educational Studies in Mathematics[3]) consagra 160 páginas del libro a examinar muchas de las dificultades que conlleva el aprendizaje de los números, y sin embargo apenas menciona la regla de los signos.”

“Uno se explica fácilmente este olvido sorprendente. En la época en la que él escribía esta obra, Freudenthal escogía los temas de sus análisis didácticos de entre sus recuerdos personales. Ahora bien, ningún matemático de su generación (ni de las nuestras) guarda recuerdo alguno de haber sido turbado por la regla de los signos.”

Sin embargo, Piaget (muy sensible a las observaciones que hace sobre los niños), consagra varias páginas de su obra Introduction à l’épistémologie génétique [4] a las dificultades provocadas por los números negativos.

Las señales de las dificultades que han enfrentado los estudiantes con esta noción se encuentra, entre otros casos, en la autobiografía de Stendhal, La vida de Henry Brulard. La parte donde hace referencia a estas dificultades la resumí en una especie de comic:

Es decir: no es tan sencillo como lo hacen parecer los programas educativos que parten del profundo desconocimiento de quienes los redactan. Y los profesores que creemos que lo más importante es terminar un programa, aunque los alumnos no aprendan ni un ápice, no ayudamos en ningún sentido a la formación o el interés por los estudiantes en la materia o en su aplicación para resolver problemas que tengan sentido.

Se trata, pues, de crear las condiciones y los apoyos para que el estudiante comprenda y no para que apruebe un curso sin sentido que solamente sirva para cumplir con indicadores escolares e institucionales. O no nos quejemos de lo que ayudamos a crear.

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[1] Glaeser, Georges. Epistémologie des nombres relatifs. Recherches en didactique des mathématiques. Vol 2/3.  La pensée sauvage. 1981. Traducción al español de Marco Antonio Valencia, Fernando Ávila y Blanca M. Parra, publicada por la Sección de Matemática Educativa del CINVESTAV, en 1983.

[2] Freudenthal, Hans. Mathematics as an Educational Task. D. Reidel Publishing Company, Dordretcht-Hollland. 1973.

[3] Educational Studies in Mathematics. An International Journal. Editor-in-Chief: Merrilyn Goos. Springer.

[4] Piaget, Jean. Introduction à l’épistémologie génétique. 1. La pensée mathématique. Presses Universitaires de France. 1973. Pag 110 – 115 : Le nombre négatif et le zéro.

Reinicio en el CIPEC

El sábado 1 de octubre retomé las actividades con los chicos del CIPEC después de casi dos meses de ausencia. Terminó un ciclo e inició otro; algunos chicos se fueron, pero llegaron nuevos. Y, como siempre, la experiencia fue muy satisfactoria.

Dado que no hay manera de retomar desde el punto anterior se hizo necesario recomenzar, pero sin repetir lo que algunos ya habían visto. Así, volvimos a abrir el cajón de la aritmética encaminada al álgebra elemental. La propuesta: construir el triángulo de Pascal hasta la décima potencia, sin ninguna explicación adicional.

La secuencia de fotos muestra el proceso.

Por razones que no entendí decidieron escribir sobre sus rodillas, a pesar de la invitación a utilizar las mesitas (se organizan según las necesidades) o a trabajar sobre el piso, como lo han hecho en ocasiones anteriores.

Los primeros pasos y la invitación a continuar hasta la potencia 10, con la mención explícita de la potencia 0

Después de ver las producciones de los chicos y de observar los errores cometidos, escribí las líneas siguientes, le puse nombre al objeto y compartí la sugerencia para saber más. Apenas son visibles las líneas que marqué para ayudarlos a visualizar el patrón (una de las fuentes de error más frecuentes en matemáticas es no reconocer los patrones) y organizar su trabajo:

Siguió registrar las observaciones que fueron haciendo mientras construían el triángulo:

Para darle sentido algebraico, a continuación. Comenzamos con una brevísima presentación de Euclides:

Y el álgebra geométrica del libro II de los Elementos

Para establecer el cuadrado del binomio

Y la relación de los coeficientes con los números en el renglón 2 del triángulo de Pascal

Y saltar al cubo del binomio, utilizando meramente los coeficientes dados por el tercer renglón del triángulo

 Y la cuarta potencia 

 Para terminar mostrando un ejemplo de aplicación para calcular cualquier potencia de cualquier binomio, siempre y cuando tengamos en cuenta las reglas de los signos y las de los exponentes.
Y hacer notar uno de los errores más comunes entre los alumnos, cada vez que tienen que calcular el cuadrado de un binomio.

Mañana (sábado 8) continuaremos con este tema en un contexto ligeramente distinto: Probabilidad.

Actividad matemática en el CIPEC

La semana pasada compartí un texto sobre lo que es la actividad matemática , tomado del libro La mistyfication mathématique de Alain Bouvier, que incluye una propuesta de 50 problemas entre abiertos y ya resueltos, sin que conozcamos en cuál de estas categorías está cada uno y, evidentemente, sin soluciones (para los ya resueltos) ni hints.

El libro llegó a mis manos en 1985 mientras estaba en el IREM de la Universidad París 7 Diderot, a punto de presentar mi tesis. Desde entonces lo he utilizado en diferentes ocasiones para tratar de despertar el interés por una verdadera actividad matemática con los estudiantes desde muy temprana edad. La resistencia es enorme porque, fundamentalmente, muy pocos docentes han entrado en este terreno y ante la ausencia de guías externos que les permitan saber si “voy bien o me regreso” se sienten desconcertados y desamparados. Traduzcan eso a lo que hacen en sus cursos: puras cosas previsibles, dependiendo del grado o el momento del ciclo escolar. No vamos a encontrar una ecuación lineal con soluciones negativas si no se han introducido los números negativos y las operaciones con ellos, por ejemplo. Y con enteros, por favor. Dado que nunca estuve sujeta a semejantes cosas, decido que siempre es buen momento para comenzar la exploración.

Hacia 1986-1987, mientras desarrollábamos uno de los primeros cursos de la maestría en Educación Matemática, modalidad semiabierta, en la Universidad de Guadalajara, me tocó hacerme cargo de las sesiones de heurística. El grupo estaba integrado por maestros de matemáticas para ingeniería, maestros de matemáticas de bachillerato y estudiantes de la licenciatura en matemáticas en su último semestre. De los 50 problemas propuestos por Bouvier seleccioné un problema diferente para cada subgrupo.

Me ocuparé del problema 36, propuesto a los estudiantes de último semestre de la licenciatura en matemáticas a quienes daba gusto (OK, no) escuchar hablar de los títulos de sus tesis sobre topología algebraica y menjurjes semejantes con aire docto.

El problema 36 pide encontrar los valores que puede tomar un entero positivo n para que 4^n + n^4 sea un número primo.

Para mi sorpresa, los estudiantes comenzaron a ensayar uno a uno los números del 1 al 17 antes de establecer un hecho que a uno puede parecerle obvio. Y es justo en ese punto donde los chicos del CIPEC mostraron que lo que necesitan son oportunidades.

La sesión en el CIPEC comenzó, como de costumbre, conversando con los que llegan temprano acerca de lo que han experimentado/aprendido/disfrutado/odiado en los días previos de esa semana. Hubo homemade brownies para potenciar el arranque, recordando que debíamos de decidir a quién habría que regalarle el libro de Alicia en el país de las maravillas que Célica Cánovas nos había donado. Después de hacer una semblanza de Lewis Carroll y Alicia y una breve introducción al libro, decidí que sería para quien mostrará razonamiento lógico en sus participaciones de la mañana.

Para entrar en calor les propuse un ejercicio que aparece en un problemario de preparación para un concurso de ¡informática!: ¿cuál es el último dígito de 2013^2013 ?

Es evidente que su calculadora no puede ayudarles. ¿Cómo podrían responder?

“Multiplicamos” dijeron algunos. Inténtenlo, respondí. Pero Paola, la más pequeña de las chicas, dijo que no sabía qué significaba la escritura dada. Me fui al origen, con Diofanto y su dedicatoria de sus libros de Aritmética, explicitado lo que significa x^n para valores de n = 1, 2, 3 y 4.

Resultó que ella no era la única con esa laguna cuando al escribir x^2 algunos dijeron que el valor de x se multiplicaba por 2. No avanzamos hasta que para todos quedó claro que la n se refiere al número de veces que se toma x como factor. Unos 10 minutos.

Regresamos al ejercicio: ¿cuál es el último dígito de 2013^2013? Que cambié por ¿en qué dígito termina 2013^2013? Mucho desconcierto, por supuesto. Propuse que uno siempre puede tratar de entender con un problema más sencillo (Polya dixit) y escribí 23^23, que sigue estando fuera del alcance de las calculadoras. Hice hincapié en que no nos interesa el resultado total sino solamente el dígito que representa las unidades. Hicimos un par de ejercicios para explicitar el algoritmo de la multiplicación paso a paso y notar que las unidades del producto provienen solamente del resultado de multiplicar las unidades de los dos factores en cuestión. Por ejemplo, si multiplicamos 27 por 63 sabemos (debiéramos de) que el producto termina en 1.

Entonces propuse esa actividad a la que el niño de seis años, François Le Lionnais, se entrega en una tarde aburrida de un verano caluroso (hacia 1908).  La historia es importante porque toca una de las quejas de la mañana: “me aburro en mi casa y no me gusta estar aquí”.

Le Lionnais cuenta que en ese estado de aburrimiento comenzó escribiendo los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y pensó, por supuesto, que el último dígito de cualquier otro número es, necesariamente, uno de esos dígitos (Le Lionnais no incluyó al cero, de lo cual se dio cuenta unos años después, pero yo lo hice para los chicos).

Determinó que al multiplicar un número por sí mismo (desconocía, dice, que eso se denominaba "cuadrado del número") el resultado solamente pueden terminar en  0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, correspondiendo a cada uno de los dígitos.

En ese momento tenía las dos líneas siguientes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

0, 1, 4, 9, 6, ,5, 6, 9, 4, 1

Se percató, entre otras cosas, de la simetría en torno al 5, lo cual lo incita a continuar con las terminaciones de los cubos:

0, 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9.  

Un desorden con algunas propiedades. Intrigado, intenta con la cuarta potencia:

0, 1, 6, 1, 6, 5, 6, 1, 6, 1.  

Que es una sorpresa total por su simetría, para comenzar, y porque no son muchos los sobrevivientes, dice.

¿Qué ocurrirá con la quinta potencia? Obtiene

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

En ese momento Paola, la chiquita que no conocía el significado de la potencia, dijo en voz alta: “¡entonces hay que dividir entre 4.”

1. Alicia en el país de las maravillas  encontró a su dueña
2. Le pregunté qué había que dividir entre 4 (en 23^23)

Nos explicó:

23, del exponente, entre 4 da 5 y sobran 3. Así que hay que ir a la tercera fila de las cuatro creadas, y mirar la que corresponde al 3: es 7. 23^23 termina en 7.

No estaba segura de que todos hubieran entendido cabalmente lo que acababa de suceder ni la explicación. Hicimos un par de ejercicios antes de regresar a 2013^2013.

Sí: “hay que dividir entre 4” se entendió dentro del contexto de la sesión, aunque habría que ver más adelante si se produjo conocimiento.

Al dividir 2013 entre 4 tenemos 1 como residuo, lo que significa que nos fijamos en la primera fila, en la columna que corresponde al 3: es 3

Había transcurrido alrededor de una hora desde que iniciamos la sesión, y todavía disponíamos de unos 30 minutos. Propuse el ejercicio 36 de la lista de Bouvier:

encontrar los valores que puede tomar un entero positivo n para que 4^n + n^4 sea un número primo.

“No me acuerdo cuáles son los números primos”, se escuchó. Escribí la definición en una esquina del pizarrón y la lista de los primos menores que 50. Hicimos el cálculo de  4^n + n^4 para n = 0, 1, y 2 y observamos que cuando n=1 obtenemos 5 como resultado, y entonces tenemos un número primo. Replantee el problema: ¿para cuales otros valores de n se obtienen números primos?

Después de un momento se produjo el segundo momento mágico: “No funciona para los números pares” dijo Itzel, una chica que ese día festejaba su cumpleaños 17. Añadió: “siempre daría un número par” (utilizó, por supuesto, los resultados del ejercicio anterior, mostrando que lo había vuelto conocimiento útil).

Excelente, dije. ¿Cuáles nos quedan como candidatos? “Los que terminan en 1, 3, 5, 7 y 9”, dijeron.

Continuar la exploración se quedó como tarea porque se nos acabó el tiempo.

Lo sorprendente es que estos chicos no han tenido otro entrenamiento que lo que han aprendido en la escuela y lo que hacemos en las sesiones sabatinas, las cuales no apuntan a convertirlos en campeones de concursos o semejantes. De hecho, la candidata más fuerte para participar en los concursos estatales, dentro de este grupo (sí, también es niña), no se escuchó durante estos ejercicios.

La otra cosa sorprendente, y que contrasta tremendamente con la petulancia de aquellos estudiantes de matemáticas en cursos de maestría (y no debería sorprenderme) es que aquí no necesitaron probar del 1 al 17 para darse cuenta de lo que Itzel hizo notar.

Si revisamos todo este rollo, quitando el anecdotario y haciendo un ejercicio de taxonomización, nos daremos cuenta de la cantidad de conocimiento generado/recuperado/puesto a prueba en una sesión que puede resumirse en 45 minutos tal vez, pero que sería tremendamente aburrida y desgastante sin esta comunicación/comunión en la que cada uno puede participar y expresar lo que no entiende sin temores, entre iguales.

Yo salí muy satisfecha, preparando lo que será la sesión del próximo sábado la cual iniciará con un breve convivio de festejo de tres cumpleañeros. Esos momentos, para mi gusto, son lo que permiten crear el ambiente de las sesiones de trabajo.

La actividad matemática

Hace tiempo preparé un material a este respecto, para un "Diplomado en Enseñanza de las matemáticas para profesores de preparatoria y la universidad", que diseñé e impartí mientras estaba a cargo de la Coordinación de Desarrollo Educativo en la Ibero Tijuana.

La presentación que acompañó a la sesión sobre lo que significa "actividad matemática" se titula "La mistificación matemática", tomada del libro de Alain Bouvier que lleva ese nombre.

Sobre la importancia de aprender a plantear y resolver problemas de matemáticas hubo también una presentación, además del documento completo con algunas referencias.

Esta semana, a propósito de las actividades que desarrollamos con los chicos del CIPEC, sumamente desestructuradas pero diseñadas ex profeso, decidí hacer una traducción libre y sintetizada del primer capítulo del citado libro de Alain Bouvier: La mystification mathématique.

Se trata, fundamentalmente, de una propuesta de cincuenta problemas dirigidos a los docentes de matemáticas y es una invitación a participar y comprender lo que es la actividad matemática. Es una invitación también a ir dando cuenta de nuestro propio proceso, el que desarrollamos cuando incursionamos en esta actividad, pero también de observar a otros docentes y hasta a algunos alumnos cuando se involucran en ella.

Los problemas, como se menciona en el documento, pueden ser problemas para los cuales todavía no se tiene una solución o ejercicios que pueden resultar sencillos para algunos. Bouvier no indica cuáles pertenecen a cada categoría. Por supuesto, no hay respuestas o hints para ellos.

Disfruten el viaje que supone La actividad matemática.

Actividades recientes.

Muchas cosas han ocurrido durante este año. Comenzaré a compartir lo más reciente.

Comenzó con una invitación de Toño Falcón para unirme a un proyecto que se desarrolla en el CIPEC, trabajando con niños de diferentes comunidades de León, de diferentes grados escolares que van de la secundaria al bachillerato y que tienen diferentes intereses; algunos participan en una orquesta de niños apoyada por el Municipio. Toño trabaja con ellos los sábados de las 9 a las 14 horas, en apoyo a los cursos regulares que tienen en sus respectivas escuelas durante la semana regular. Son 17 jóvenes, inquietos como todos los de esa edad.

El primer sábado, el 17 de octubre, llegué justo cuando iniciaba un receso para desayunar en el comedor de CIPEC, de manera gratuita. Eso sí, deben colaborar a la limpieza y orden del lugar. Luego nos fuimos al aula, razonablemente equipada, donde fui presentada. Era la hora de la clase de matemáticas. Conversé un poco con ellos, sobre si les gustaba o no la clase de matemáticas (la mitad dijo que no) y si sabían, por ejemplo, para qué sirve el teorema de Pitágoras en la vida real “de la realidad tangible” de todos los días (es decir, no dentro de las clases de matemáticas), si sabían que el mismo Pitágoras había tenido la idea de la escala musical (a lo que dijeron que no)y les propuse que vieran Donald en el país de las matemágicas, en YouTube. Luego les pregunté sobre lo que les interesaría saber.

“Nunca he entendido lo de la recta numérica” dijo uno de los más pequeños. En lo que me explicó que hace su profesor, en la escuela, quedó claro que el profesor no tiene idea de lo que se trata y comete algunos de los errores que he observado antes con alumnos de diferentes edades. Peor, “Mi maestro es un flojo que nunca responde nada”, completó el chico, “bueno, son dos y de los dos no se hace uno”. Triste realidad de muchos de los docentes, desde los tiempos en que hacía observaciones y apoyaba a una profesora de una escuela secundaria en Ciudad Netzahualcóyotl, como parte de mi entrenamiento en la investigación educativa, hacia 1975.

“No entiendo las ecuaciones” dijo uno de los mayores, alumno de bachillerato (y me horroriza darme cuenta de que lo que eran temas de la secundaria ahora se abordan en el bachillerato y es, fundamentalmente, parte de la problemática de la falta de formación docente). Sí, entendían que una literal representa una incógnita, pero hasta ahí.

Comenzamos por el primer punto, explicitando cómo se construye la recta numérica, la necesidad de un punto inicial u origen a partir del cual se marcarán las unidades, elegidas según lo que uno vaya a representar pero todas de la misma longitud. Hablamos de los números de contar y de lo que contamos: personas, naranjas, canicas, etc. Y tocó el turno de hablar de fracciones y decimales. ¿Para qué los necesitamos? No lo asociaban con medición y expresión de una medida.  Convenientemente llevaba algunos de los impresos de los supermercados, anunciando ofertas. Ahí aparecen los decimales, y ahí está presente la idea de partir las unidades y la necesidad de fracciones y decimales. La actividad de “La Patita”, y la de aprovechar descuentos en porcentajes es algo que surgirá de manera natural en sesiones próximas.

Para aligerar la sesión expliqué el "juego" de Quién dice 20, la situación didáctica clásica propuesta por Brousseau, y la jugaron en equipos: los chicos de secundaria versus los de bachillerato. La finalidad: mostrar que el grado en el que estudian no es un factor para tener un buen desempeño. Cada equipo elegía a su representante en cada ocasión. Al que llegaba primero a 20 se le obsequiba una paleta de caramelo, y eso incrementó el interés en participar. Para la primera ronda del juego  un volado decidió qué equipo comenzaba.

En la segunda ronda cayeron en cuenta que el que decía 17 ganaba el juego;
en el tercero, que lo importante era llegar a 14;
en el sexto, que la clave era llegar a 11.

Ahí les pedí analizar lo que seguiría pasando, y concluyeron sin dificultades; pero lo importante es que ya estaban enganchados.

Hablamos entonces del asunto del álgebra en tanto que resolución de acertijos que deben traducirse a un lenguaje simbólico para poder resolverlos de manera algorítmica, que es la idea que expusieron, aunque no en esos términos. Comencé planteando el problema 1 del libro I de las Aritméticas de Diofanto. Hubo diferentes maneras de resolverlo, por supuesto, pero predominó el tanteo. Enseguida propuse el problema de las gallinas y los conejos, que no encontraron manera de resolver, excepto por dos chicos que lo hicieron por tanteos. Después de un rato les propuse la solución de dibujar las cabezas, como hicieron mis alumnos de primero de secundaria hace unos 40 años, y mientras las dibujaba surgieron las propuestas de poner dos patas a cada cabeza y… terminaron sin mucho problema. Luego analizamos esa solución para convertirla en procedimiento algebraico.

Eso permitió plantear un problema semejante, ahora con monedas de 5 y de 10 pesos. Y lo inconveniente de estar dibujando cuando el número de monedas es muy grande. Y de ahí, la necesidad de generalizar el procedimiento algebraico, etc.

Ya animados, una chica dijo que no entendía eso de dividir polinomios. Comencé con el algoritmo euclidiano de la división de enteros, y lo enuncié completo. Por analogía desarrollé paso a paso la división de dos polinomios, haciéndolos participar en la solución (en un punto hubo que explicitar que x^5/x^3  significa simplificar (xxxxx)/(xxx), por ejemplo (de donde resulta a regla para dividir potencias de una variable), y enuncié la condición final sobre el orden del residuo. Algunos dijeron que eso era de prepa, y comenté que no hay semejantes límites cuando nos interesa un tema.

Compartí entonces una actividad que Papini y yo propusimos a niños que recién terminaban la primaria, en un curso de verano que organizamos para indagar sobre la proporcionalidad previa a la introducción a la probabilidad: Un depósito está lleno de agua y, por efectos de evaporación, cada día pierde la mitad de lo que tiene por la mañana. ¿Cuántos días son necesarios para que el depósito quede completamente seco? Mientras iba cerrando la sesión, respondiendo preguntas sobre mí y sobre mi hijo, compartiendo el uso de Wolfram Alpha y recogiendo mis materiales, uno de los chicos me dijo: “ya voy en el día 70 y no se acaba”. Solamente sonreí. Por Toño supe, durante la semana, que seguían calculando y preguntando por la respuesta. 

Retomando las observaciones de hace 37 años

En el verano de 1977 desarrollé la parte experimental de mi trabajo de tesis de maestría; entre septiembre de ese año y junio de 1978 redacté el análisis y reporte de la experiencia. Pero ese mismo año yo viajé a París para iniciar mis estudios de doctorado, y Papini (Dr. Jesús Alarcón Bortolussi) viajó a Estrasburgo, también para su doctorado. El trabajo quedó terminado pero no hubo tiempo para la formalidad de la presentación y validación por parte de un jurado. A principios de 1981 regresé a México y en junio de ese año hice la defensa de la tesis, aun cuando Papini seguía en Francia. Hoy volví a darle una revisada a ese trabajo.

Con la tecnología de los años 70, el trabajo se escribió a mano y luego Margarita Brito, entonces trabajando en Matemática Educativa, lo mecanografío. Se imprimió en el mismo taller de Matemática Educativa, con el apoyo de Carlos y Octavio, que estaban a cargo del área de reproducción e impresión de todos los materiales que producíamos.

El trabajo consiste en el diseño de un curso de formación para profesores de matemáticas de primero de secundaria, con un total de 90 horas, y el análisis y reflexión sobre lo que observamos a lo largo de él. Eran unos 30 profesores y teníamos dos grupos, de 50 niños cada uno, que acababan de terminar la primaria, para observar la manera en que los profesores llevaban al aula lo que aprendían y se les proponía en el curso.

En cuanto a lo que observamos entonces sobre los conocimientos, habilidades y actitudes de los profesores en y hacia los temas de matemáticas y los que tienen que ver con la labor docente, independientemente del curso que imparten, pareciera que el tiempo se ha detenido. No hay mejoría y hasta me atrevería a decir, con las siempre honrosas excepciones, que hay un retroceso. Los programas han cambiado, debilitándose de manera alarmante, y los materiales que se ofrecen a los profesores y a los alumnos, desde la misma SEP, no contribuyen a mejorar la calidad de la educación, especialmente en matemáticas.

La propuesta del curso de 90 horas no sigue el programa que estaba vigente en aquellos tiempos, que incluía Lógica y Conjuntos y Probabilidad y Estadística, desde 1974 o algo así. Las razones que entonces expuse son básicamente las mismas que recurrentemente expreso con respecto a la educación matemática: hay que atender a las características de nuestros alumnos y a proporcionarles herramientas que les permitan hacer frente a situaciones en la vida real, aunque sí incluiría aspectos probabilístico y el manejo de datos. También recomendaba tomar en cuenta que sin la capacitación adecuada, y no a través del teléfono descompuesto que son los multiplicadores, valía más no pedir al maestro trabajar con temas que no comprenden, que parecen haber descendido solamente sobre unos cuanto iluminados, y que limitan el tiempo que se necesita para desarrollar conocimientos mucho más relevantes en todos los sentidos.

De las observaciones y del análisis que hicimos de ellas resultó que los temas que desde todos los tiempos han estado en los programas de ese nivel, tampoco son suficientemente dominados por los profesores, especialmente en lo que se refiere a fracciones y geometría plana. Que los profesores ni siquiera prestan atención cuando se trata de profundizar respecto a esos mismos temas, porque suponen que ya saben de qué se trata, aunque no sea verdadero. Diría yo que reconocen la tonada pero no podrían cantar o tararear la canción.

Lo mismo sucede cuando se trata de temas de pedagogía, didáctica, tecnología educativa, psicología del aprendizaje y los temas relacionados. Los docentes han pasado por todo tipo de talleres o sesiones informativas -generalmente por obligación- en las que pareciera que es más importante utilizar la jerga correspondiente que entender de qué se trata y para qué puede ser utilizado ese conocimiento. Salen indemnes de semejantes experiencias, en el mejor de los casos. Tristemente eso también se observa en directivos de todos los niveles en el área educativa. El triste caso de la terrible confusión y falta de comprensión de lo que significa el desarrollo de competencias (no competencias laborales, no competiciones), en los últimos tiempos, es un excelente ejemplo para ilustrar el desastre que son esos métodos de "capacitación" a los que las autoridades educativas siguen recurriendo.

En cuanto al trabajo con los alumnos, nos sorprendió lo refractario que se mostraron para tomar en cuenta la propuesta de trabajo independiente del alumno y asumir la función de facilitador que incorporamos a nuestro trabajo desde 1975, por lo menos. Los materiales de trabajo para el alumno -contenidos en el libro Matemáticas 100 horas, para primero de secundaria- fueron elaborados, puestos a prueba y re elaborados en función de las observaciones del trabajo con los niños en las escuelas secundarias en las éramos docentes, o en las que auxiliábamos a otros docentes que empleaban los materiales, de manera de asegurar que los alumnos podían aprender por su cuenta y discutiendo entre ellos, con apoyo del docente cuando surgía una duda o era necesario proponer una alternativa.

Después de las sesiones de trabajo con los profesores, en las que se explicitaba todo lo anterior y se modelaba la puesta en operación, ellos debían trabajar con alguno de los dos grupos de niños, en parejas para que pudieran ser más eficientes en la observación del trabajo de los niños y su retroalimentación.

Se les pedía llegar a la sesión con los alumnos habiendo analizado los materiales y resuelto con nosotros cualquier duda o solicitud de apoyo. Lo que ocurrió fue que llegaban sabiendo el nombre de la lección, confiando en que conocían el tema; que dictaban cátedra controlando la lectura de los materiales, pidiendo a los alumnos leer un ejercicio, por ejemplo, y guardar inmediatamente el material; impidieron las interacciones entre los alumnos; se desviaron del tema observando y haciendo observar a los niños cualquier detalle de algún dibujo o característica que encontraran novedoso en el material -"vamos a aprender a dibujar esta florecita", por ejemplo-, sin concluir la lección ni, por supuesto, lograr algún aprendizaje significativo en los niños; privilegiaron el trabajo de los dos o tres niños que terminaban un ejercicio antes que el resto; y no registraron ninguna de las dudas o tropiezos que encontraron los chicos del grupo.

Que las cosas no han mejorado me quedó claro hace casi dos años, cuando me pidieron hacerme cargo de dos grupos de matemáticas en un colegio privado de niñas. De pronto tenía público en la ventana observando mi "peculiar" manera de poner a trabajar a las alumnas mientras circulaba entre las bancas para retroalimentar lo que hacían, en caso necesario; o sentándome en el suelo con ellas, u observando la manera en que trabajaban y se retroalimentaban en parejas o grupos de cuatro o cinco. Aparentemente nunca habían visto o conocido la puesta en acción de todo lo que les piden que aprendan en asuntos de trabajo colaborativo y del aprendizaje centrado en el alumno.

Fue bueno releer el material y encontrarme con documentos que escribimos Papini y yo sobre la resolución de problemas y sobre los inicios de la probabilidad con los chiquitos, a partir del trabajo con niños. Documentos que recordaba pero que no los tenía disponibles, según yo. Papini falleció en 1997, pero antes hicimos realidad dos proyectos importantes de formación de profesores de matemáticas, creando maestrías en educación matemática en las escuelas normales de Saltillo y de Toluca, entre otras cosas.

Encontré también los materiales que, como alumnos, escribimos algunos compañeros y yo, de manera individual o en equipos, y que sirvieron como materiales para el curso de 90 horas. Entre los compañeros que colaboraron con sus materiales y la imparticion del tema, dentro del curso, están algunos de los amigos que permanecen a través de los años que van de 1968 a la fecha: los reconocidísimos educadores Elias Loyola Campos y César Cristóbal Escalante.

Mucha agua ha pasado bajo los puentes y seguimos observando las mismas carencias educativas.

Return!

Hace rato que no me aparezco por aquí, ocupada en proyectos que no terminan de cuajar y una muy decidida vocación por el dolce far niente.

Pero resulta que esta semana, el martes 9 de septiembre, fui responsable de un taller en Irapuato, en ocasión del Congreso del Nivel Medio Superior para fortalecer los trayectos educativos de los alumnos. Aunque formalmente lo que hice fue "coordinar una mesa de trabajo", en realidad lo que coordiné fue un taller sobre "Estrategias para fortalecer el logro educativo en matemáticas". Por lo menos ese fue el título, aunque la intención era promover un poquito de subversión.

Dadas mi habilidades natas para la divagación, redacté un guion para mí. Y durante la sesión, mientras trabajaba con unos 60 docentes, tomé algunas notas que se convirtieron en el reporte de la sesión, solicitado por la Secretaría de Educación de Guanajuato.

Les comparto algunas fotos de la reunión, mientras los docentes trabajaban para entender lo que SI es PBL.

Sigue la historia de mis alumnos

Me queda claro que tanto la física como las matemáticas que han aprendido son de formulita. No saben analizar un problema ni, mucho menos, plantearlo. Un verano no da para deshacer todos los entuertos, sobre todo si el alumno es pasivo (también parte de su historia escolar) y no quiere arriesgar nada para no parecer "tonto". Solamente una alumna ha modificado esta actitud y los resultados son notables.

La cuestión es que el problema del cálculo del centro de masa siguió siendo difícil, dijeron.
Del libro de Física General de la serie Schaum debían resolver los ejercicios del 21 al 42 del capítulo 8, para un examen rápido, que aplicaría el lunes 30 de junio, para el que yo seleccionaría aleatoriamente uno de los ejercicios mencionados.

Me mandaron mensajes a través de Edmodo el domingo por la noche: que si era posible que antes del examen rápido resolviéramos las dudas. Casi todo eran dudas pero, especialmente, lo de centros de masa.

Sin revisar los problemas pregunté las dudas que habían surgido:

• cómo determinar la ubicación de la figura en el plano, de manera de simplificar los cálculos
• cómo determinar las "ecuaciones" de las curvas de la figura
• cómo determinar los límites de integración para los cálculos

y algunas cosas más.

Fui construyendo el siguiente diagrama, retroalimentado por las preguntas y dudas que iban surgiendo:

Todos quedaron satisfechos con la explicación.

Y entonces fuimos a ver el problema que no habían podido resolver, que resultó ser el 8.31

Es decir que no había nada de cálculo integral. Un simple ejercicio del centroide de un triángulo.

Antes de ver el ejercicio resuelto 8.10 (con las fórmulas) resolvimos el 8.31 trabajando a partir de la solución dada ahí mismo, y hacia atrás. Entonces "les cayó el veinte". Eso tampoco se les ocurre.

Lo que me parece más grave es esa parálisis que no les permite siquiera darse cuenta de lo ya hecho, de lo que tienen en las notas que hayan tomado en clase, etc. Pareciera que en automático la respuesta es "no sé y no voy a intentar comprender".

Mis reportes a las autoridades académicas, en el sentido de que estos alumnos necesitan una reeducación en matemáticas, particularmente, y no más cursos de formularios, recibieron como respuesta un "hay mucho por hacer". ¿Cuándo? ¿Quién?

Un día provechoso

Me levanté temprano para ir a caminar al Parque Metropolitano, que se ha vuelto mi lugar favorito. Solamente fueron cuatro kilómetros, dos de ida y dos de regreso, porque tenía previsto seguir algunos cursos en WizIQ. Solamente seguí dos de los cinco programados porque terminando el segundo comenzó la transmisión de la inauguración de los Foros de consulta nacional para la revisión del modelo educativo, en la SEP. 

Fue interesante escuchar la plática de Olac Fuentes, con cuyas apreciaciones coincido. No es novedad, por supuesto. Algunas de las ideas y afirmaciones que compartió habían surgido antes, en mi trabajo con profesores.

El asunto de las competencias (en la definición dada en el Marco Conceptual del SUJ, por ejemplo) y la imposibilidad de evaluar el desarrollo de actitudes y valores es un tema que apareció en cada uno de los talleres con profesores. No se pueden evaluar durante un curso y, a veces, ni siquiera a lo largo de toda una carrera. Se verán en la práctica profesional y en la actuación como personas fuera de las aulas.

Por otra parte, en la misma línea de evaluar el desempeño, los estándares que se plantean para el nivel básico están tomados de algún programa académico de licenciatura.

En Tijuana, un grupo de unos seis docentes de primaria publica, me pidieron un taller para ayudarlos a diseñar actividades para sus alumnos. Me explicaron su programa en el área de español: para tercer o cuarto grado (no recuerdo) los alumnos tenían que aprender a distinguir entre cuento y leyenda, por ejemplo, pero también tenían que aprender a hacer resúmenes, y la lectura de comprensión. Comenzamos organizando alguna actividad donde esos elementos se articularan en una experiencia diferente y disfrutable, y todos los peros comenzaron a aparecer: no podemos crear espacios en el aula (sugerí el piso, con cojines aportados por cada alumno); no podemos mezclar las unidades (por el control administrativo), …. Y aparecieron las deficiencias de los alumnos.

Les pedí la definición de las metas/objetivos del área de español para cada grado. No pudieron explicitarlos. Sabían cuáles eran las metas para el ciclo de educación primaria completo; las que resultaron ser equivalentes a las que en ese momento se contemplaban para la competencia de comunicación oral y escrita de la Ibero (ya hasta esas son menos ambiciosas). Al mismo tiempo, la Cartilla de Educación Básica (las normas para la evaluación y aprobación de los cursos, esencialmente) que estuvo vigente hasta 2012, asumía que un niño podía aprobar el tercer grado sin saber leer.  Grandes contradicciones y ninguna guía valida ni para los padres de familia ni para los docentes.

Por otro lado, la elaboración de planes y programas de estudio depende el “experto” a cargo. Recuerdo la elaboración de los programas para la educación primaria hacia 1990/91. Estaba yo de sabático en la UNAM y compartía la oficina con quien había sido designado para elaborar lo correspondiente al área de matemáticas. Era un estudiante de posgrado en Matemática Educativa del CINVESTAV (donde yo trabajaba y estaba a punto de renunciar). Hizo una mezcla de todo lo que como estudiante había leído; una verdadera indigestión de posturas y textos franceses y estadounidenses. Los alumnos llegarían a tercero de primaria sin saber operar con los números enteros, porque habrían pasado un buen rato seriando y clasificando para conceptualizar al número. Estrategias abandonadas hacia un largo rato por los franceses, por lo menos. Y, por supuesto, desconociendo terriblemente las condiciones educativas y la realidad de los niños en este país.

Afortunadamente, supongo, fueron los años de reformas al vapor que eran sustituidas inmediatamente. Lamentablemente tampoco las que le siguieron fueron hechas con mucho más sentido.

Muy recientemente salió a cuento el libro Matemáticas 100 horas (primero de secundaria) que dio origen a Matemática Educativa y el cual me tocó experimentar en mi clase, tutorear a una maestra en una escuela de Ciudad Neza, donde se piloteaba, y luego reescribir buena parte, imprimir, compaginar y distribuir. Un verdadero proyecto. Un libro mítico, me dijeron.  El desorden aparente en el diseño de los programas de matemáticas para los últimos grados de la primaria se inspira en la estructura de este libro, me comentaron. Excepto que si no se conoce el origen y el sentido es difícil entender y transmitir su estructura en espiral, muy brunneriana, a docentes acostumbrados a trabajar de manera lineal. Afortunadamente lo tenemos en PDF y se puede comentar y discutir con los interesados.

De todos los defectos de los planes y programas, y de su elaboración, habló Olac. Cerró con una metáfora: "Se dice que el dibujo de un camello es el resultado de un comité de burócratas que se reunió para pintar el retrato de un conejo".

Después de esta plática, la gente paso a las mesas de trabajo, en el D.F. Esperaremos a que nos toque en esta zona.