La experiencia completa en la ciudad, desde mi llegada y hasta mi regreso a León, Guanajuato, está narrada en mi otro blog bajo el título Comptes rendus. De todo, incluyendo experiencias y fotos del taller que impartí.
De esa publicación retomo, y pongo enseguida, el enlace (varios documentos) al libro Matemáticas 100 horas (para estudiantes de primer grado de secundaria) el cual diseñamos, redactamos, imprimimos, fotocopiamos, compaginamos, armamos, pusimos a prueba y corregimos antes de llegar a esta versión, entre 1975 y 1977. Las gracias reiteradas para Dulce Karina Rodríguez, quien se dio a la tarea de rescatar ese documento, poniéndolo en formato PDF, hace unos 10 años.
Si los materiales y las experiencias compartidas les son de utilidad, se habrá logrado el objetivo.
Como siempre, sus comentarios son bienvenidos.
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domingo, 27 de octubre de 2019
domingo, 3 de febrero de 2019
Trabajo con docentes de escuelas primarias
Entre septiembre y octubre de 2018 estuve a cargo de la capacitación a un grupo de docentes en la ciudad de Santa Cruz de Juventino Rosas, Guanajuato, contratada por el CIFE como facilitadora para un grupo de 36 docentes de primaria y coordinadora de los facilitadores (dos, aparte de mí) en esa sede. De buenas a primeras me encontré conociendo desde adentro el proceso de capacitación con vías a la evaluación docente de la SEP/INEE. Nada supe cuando fui contactada y contratada, excepto que era una capacitación sobre diseño curricular. Hay mucho que elaborar respecto a lo que fui encontrando sobre los problemas que tienen los docentes en un municipio tan cercano (y lo complicado de llegar a él, pese a la cercanía y las características de la zona) y con carencias que no hubiera imaginado. Muchos aprendizajes y muchas ricas experiencias.
A reserva de detallar mi análisis del proceso, aquí se encuentra mi reporte final, entregado a la institución contratante.
Ahora tengo ocasión de colaborar en otro proyecto, también con docentes de primaria. Se trata de dos grupos de profesores, en Campeche, para introducirlos a la estrategia de Aprendizaje Basado en Proyectos y, necesariamente, su relación con el Aprendizaje Basado en Problemas. La parte presencial de estos talleres se desarrollará los días 7 y 8 de febrero.
Por lo pronto, aquí está el material que diseñé para ellos, como lectura previa, dadas las limitaciones de tiempo (10 horas presenciales seguidas de 10 horas virtuales, para cada grupo): PBL o ABP: Problemas y Proyectos.
A reserva de detallar mi análisis del proceso, aquí se encuentra mi reporte final, entregado a la institución contratante.
Ahora tengo ocasión de colaborar en otro proyecto, también con docentes de primaria. Se trata de dos grupos de profesores, en Campeche, para introducirlos a la estrategia de Aprendizaje Basado en Proyectos y, necesariamente, su relación con el Aprendizaje Basado en Problemas. La parte presencial de estos talleres se desarrollará los días 7 y 8 de febrero.
Por lo pronto, aquí está el material que diseñé para ellos, como lectura previa, dadas las limitaciones de tiempo (10 horas presenciales seguidas de 10 horas virtuales, para cada grupo): PBL o ABP: Problemas y Proyectos.
martes, 3 de enero de 2017
acerca de Entornos Personales de Aprendizaje
Hace unas semanas, una editorial española me contacto con la propuesta de que escribiera un librito a partir de una ponencia presentada hace unos tres años y mi participación, dentro del mismo congreso, en un intercambio de experiencias con TIC. En principio pareció interesante retomar la idea y actualizar algunas cosas, y comencé a desarrollar el tema.
Hace alrededor de tres semanas el hijo vino de vacaciones (trabaja en India desde hace unos 20 meses) y de su paso por la Ciudad de México trajo un libro impreso por esa misma editorial:
Hace alrededor de tres semanas el hijo vino de vacaciones (trabaja en India desde hace unos 20 meses) y de su paso por la Ciudad de México trajo un libro impreso por esa misma editorial:
- Entendí el tipo de negocio y no me interesa
- No puede ser impreso algo que se refiere al PLE
Como consecuencia decidí publicar aquí mis avances. Y abrirlos a una discusión. Bienvenidos.
Entornos Personales de Aprendizaje y su relevancia para el autoaprendizaje y la valoración de los conocimientos no formales
Presentación
El
concepto de Entorno Personal de Aprendizaje (Personalized Learning
Environment, comúnmente llamado PLE) se remonta a los inicios de los años 60
aunque no había acuerdos ni en su definición ni en sus componentes. La
primera referencia se encuentra en The
first book of teaching machines[1],
según Wikipedia[2]
:
“Programs can only be designed by highly trained human beings who, through the teaching machine, can reach countless students and enable each to take an active role in a highly-personalized learning environment.”
En una traducción libre de párrafos que pueden rescatarse de ese documento, a través de Google Books[3], encontramos:
Página 42: “Actualmente se llevan a cabo experimentos
con máquinas de enseñanza y programas de aprendizaje en muchas escuelas,
fábricas y oficinas de negocios, y en varias áreas de los servicios armados.”
Página
46: “El trabajo pre-clase de este tipo podría ahorrar mucho tiempo valioso a
los buenos maestros y hacer su trabajo con los estudiantes más útil y más
interesante.”
Aun
cuando no conocemos la obra en su totalidad, la propuesta pareciera orientarse
a apoyar el aprendizaje no solamente en los métodos tradicionales de enseñanza
sino en aprovechar los recursos tecnológicos disponibles para que el estudiante
realizara una búsqueda previa de los temas de estudio y llegara preparado a su
clase, motivado para discutir y encontrar aplicaciones a lo aprendido.
En los tiempos que corren, esa propuesta se ve materializada y superada por los
alcances de la School in the Cloud[4],
desarrollada por el Dr. Sugata Mitra a partir de su muy conocido
experimento Hole in the Wall[5],[6]
Mi
primer contacto con el concepto de PLE vino a través de Diego Leal[7]
quien abrió al mundo una experiencia de aprendizajes y de compartir
experiencias de aprendizaje a través de un taller llamado DocTic[8],
en 2010. Diego, a su vez, cuenta en su blog[9] su
inmersión en este tema, a través de Stephen Downes. La inclusión de muchos de quienes
integran mi red de aprendizaje y colaboración (y mi inclusión en las de ellos)
viene de las actividades que desarrollamos ahí.
En
aquel momento el llevar a cabo el ejercicio de hacer un diagrama de mi PLE
significó, más que nada, el acto de hacer explícito lo que siempre he sabido. Escribí
en mi blog (crearlo fue una de las primeras tareas del taller)[10]:
Creo que soy bastante
consciente de la red de personas y recursos que contribuyen a mi construcción
de conocimientos y habilidades.
Normalmente deambulo por los diferentes espacios
de la universidad conversando, retroalimentando y siendo retroalimentada en
diversos aspectos y temas; participo en reuniones diversas con amigos y
compañeros de trabajo; participo en reuniones formales de trabajo presenciales
y virtuales; pero también aprendo a través de las diferentes redes sociales que
me permiten interactuar con amigos que no conozco personalmente, con amigos que
hace mucho no veo físicamente, con alumnos y ex-alumnos que me mantienen
actualizada de muchas maneras, con mi familia,...Y luego, la cantidad de
recursos valiosos que me permiten mantenerme al día en mi área de formación
profesional, en la existencia y el uso de los recursos tecnológicos que van
emergiendo (propios para mi área, para la educación, para la construcción de
redes, ...) y en cualquier cosa que se me ocurra aprender o reaprender (la
cocina, por ejemplo).
Sin embargo nunca había hecho el ejercicio de
explicitar cómo se construye esa red que recién describí. Aquí va el ejercicio.
Seguramente tendrá que ser actualizado mientras avanzamos en el curso;
seguramente seré consciente de otros elementos de esta red, que de momento no
son tan visibles.
Resulta ser un muy buen ejercicio de conciencia.
Aquí ese primer ejercicio:
La construcción es personal, obviamente, es dinámica y va cambiando y
enriqueciéndose en la medida en que uno va adquiriendo nuevas herramientas y
desechando las que ya no funcionan por cualquiera razón, y va ampliando su red
de contactos y depurándola. La última actualización de mi PLE, creado para
acompañar a un grupo de docentes en formación en el uso de las TIC, sirve de
fondo para mi perfil en Google Plus y tiene poco más de cinco años, en los
cuales ha evolucionado, aunque no la he actualizado. De alguna manera es como
el CV de los aprendizajes, y llega un momento en que añadir cualquier cosa es
hasta pretencioso.
La construcción es personal, obviamente, es dinámica y va cambiando y
enriqueciéndose en la medida en que uno va adquiriendo nuevas herramientas y
desechando las que ya no funcionan por cualquiera razón, y va ampliando su red
de contactos y depurándola. La última actualización de mi PLE, creado para
acompañar a un grupo de docentes en formación en el uso de las TIC, sirve de
fondo para mi perfil en Google Plus y tiene poco más de cinco años, en los
cuales ha evolucionado, aunque no la he actualizado. De alguna manera es como
el CV de los aprendizajes, y llega un momento en que añadir cualquier cosa es
hasta pretencioso.
En ese sentido coincido con Juan Domingo Farnós Miró en algo de lo que señala en su publicación del 27 de noviembre de 2016. Dice:
Nunca me ha parecido tener un PLE, la verdad,
que aprendo de muchos en la red, en mi caso decirlo es una obviedad, pero nunca
ni he llegado a tener uno, ni creo que lo tenga en mivida...sería tanto como ir
contra lo que creo...Como voy a tener uno si entiendo el aprendizaje y el
trabajo, como algo dinámico, como algo que evoluciona continuamente...que tengo
algunos referentes? sin duda...pero mis ideas van mas lejos que eso...todo en
la vida es un proceso y aprender, también, que afortunadmanete nunca acaba....
Coincido en que el aprendizaje y el trabajo son
dinámicos y que evolucionan continuamente. Los referentes van siendo más
variados, los contactos van diversificando nuestras áreas de discusión y
participación activa. Sin embargo, creo que la elaboración del PLE de uno sirve
para hacer explícita, así sea una vez, la riqueza de las fuentes de las que
derivan nuestros aprendizajes. Y por esa vía aprender a reconocer el valor de
los aprendizajes no formales y convertirnos en aprendices de por vida,
discriminando lo que es valioso de lo que no, lo que apoya nuestro crecimiento
y lo que podemos difundir, y la manera de hacerlo, para que otros tomen las
riendas de su propio aprendizaje.
El PLE:
¿concepto o tecnología?
Es la pregunta que se plantean Fiedler y Väljataga[12] y con quienes concuerdo en que el PLE no debe entenderse como aplicaciones de software sino como un recurso pedagógico para el aprendizaje organizado, el de cada uno. Si uno identifica sus fuentes de información y es capaz de evaluarlas, si es capaz de ir más allá de la información dada, en el sentido de Bruner[13],entonces es también capaz de establecer sus propios objetivos de aprendizaje y de diseñar las condiciones y procurarse las herramientas y recursos de su red personal para alcanzarlos.
Es la pregunta que se plantean Fiedler y Väljataga[12] y con quienes concuerdo en que el PLE no debe entenderse como aplicaciones de software sino como un recurso pedagógico para el aprendizaje organizado, el de cada uno. Si uno identifica sus fuentes de información y es capaz de evaluarlas, si es capaz de ir más allá de la información dada, en el sentido de Bruner[13],entonces es también capaz de establecer sus propios objetivos de aprendizaje y de diseñar las condiciones y procurarse las herramientas y recursos de su red personal para alcanzarlos.
Jordi Adell[14]
señala que el PLE se trata de un “enfoque del aprendizaje” y no de una manera
de enseñar. Adell enfatiza que No es una
aplicación, no es una plataforma, ni un nuevo tipo de software que se puede
instalar, el PLE es un enfoque pedagógico con unas enormes implicaciones en los
procesos de aprendizaje y con una base tecnológica evidente. Un concepto
tecno-pedagógico que saca el mejor partido de las innegables posibilidades que
le ofrecen las tecnologías y de las emergentes dinámicas sociales que tienen
lugar en los nuevos escenarios definidos por esas tecnologías.
Un problema es que casi todo lo que a los docentes nos gusta o lo que
aprendemos lo convertimos en materia a enseñar y a ser evaluada, y entonces el
ejercicio pierde completamente su sentido.
Ciertamente, en las concepciones de PLE que encontramos documentadas se
hace particular énfasis en el uso de las TIC para aprender. En mi proceso de
inmersión en DocTic, mencionado anteriormente, surgieron algunas reflexiones
derivadas de una pregunta planteada por Diego Leal a los participantes: ¿Qué dudas espero aclarar?
Mi respuesta: Todas las que me
surjan en este proceso.
De entrada, al instalar Freemind en mi computadora -que requiere de también de haber instalado Java (previamente, según el cuadro de diálogo de la instalación del Freemind)- me surge la duda de cómo podría participar en un curso como éste un profesor, como aquellos de Cancún, que no disponen de computadora personal para instalar las aplicaciones o el software necesarios. En su momento, para mapas mentales, nosotros utilizamos Mywebspiration, totalmente en línea y a través del cual se comparten muy fácilmente los mapas creados. Más dudas saldrán en este proceso, respecto a otros temas. Pero éste me parece importante porque para mí la idea es justamente hacer llegar estas opciones de capacitación a los profesores con menos recursos.[15]
De entrada, al instalar Freemind en mi computadora -que requiere de también de haber instalado Java (previamente, según el cuadro de diálogo de la instalación del Freemind)- me surge la duda de cómo podría participar en un curso como éste un profesor, como aquellos de Cancún, que no disponen de computadora personal para instalar las aplicaciones o el software necesarios. En su momento, para mapas mentales, nosotros utilizamos Mywebspiration, totalmente en línea y a través del cual se comparten muy fácilmente los mapas creados. Más dudas saldrán en este proceso, respecto a otros temas. Pero éste me parece importante porque para mí la idea es justamente hacer llegar estas opciones de capacitación a los profesores con menos recursos.[15]
Es decir: sí, en ese primer momento parecía que privilegiábamos el uso de
las tecnologías como medios de aprendizaje, lo cual se refleja en la imagen de
mi primer PLE. Gradualmente fui incorporando a las personas de las que he
aprendido a lo largo de mi vida y de las que sigo aprendiendo y la red que
configuran se integró a mi PLE.
El uso que se da a los conceptos, cualquiera que sea el área en que se
trabaja, dentro de las instituciones educativas, los convierte en algo
distinto. Se trata, muy consistentemente, en convertir cada idea en algo
tangible, comparable, sujeto a la evaluación del docente. El PLE, mas que una
construcción personal, pasa a ser un ejercicio que muestre el número de
aplicaciones y recursos tecnológicos diversos que uno conoce o del que ha
escuchado hablar, aunque no lo utilice en lo absoluto o no sepa ni cuáles son
sus aplicaciones.
Pongamos el caso de Twitter. Apenas ayer una amiga, periodista de oficio, se quejaba de que no entiende por qué habría que entrar a esa comunidad donde solamente encuentra “puras malas noticias, puyas, grillas, agresiones viles y amenazas”. Respondí que eso depende de los grupos en los que participa, la gente con la que entra en contacto, etc. Pero se puso de moda insistir en que los docentes debían incluir el uso de las redes en sus cursos, como apoyos para el aprendizaje, sin antes ayudarles a saber para qué puede servir cada una ni cómo utilizarlas y, lo que es peor, sin haber desarrollado el pensamiento crítico.
Pongamos el caso de Twitter. Apenas ayer una amiga, periodista de oficio, se quejaba de que no entiende por qué habría que entrar a esa comunidad donde solamente encuentra “puras malas noticias, puyas, grillas, agresiones viles y amenazas”. Respondí que eso depende de los grupos en los que participa, la gente con la que entra en contacto, etc. Pero se puso de moda insistir en que los docentes debían incluir el uso de las redes en sus cursos, como apoyos para el aprendizaje, sin antes ayudarles a saber para qué puede servir cada una ni cómo utilizarlas y, lo que es peor, sin haber desarrollado el pensamiento crítico.
Tanto Twitter como Facebook, por hablar de las redes más utilizadas,
pasaron de ser comunidades de interacción casi entre pares y amigos a redes
donde lo extraordinario es que uno no esté inmerso en alguna compañía, partido
o asociación tratando de vender o promocionar algo, incluida la venta e
intercambio de “Likes” o seguidores. Para que funcionen como elementos de una
red o entorno de aprendizaje es necesario buscar a aquellos grupos o individuos
de los que vale la pena aprender y los recursos tecnológicos nuevos que valdría
la pena incorporar. Pero eso es parte de otro aprendizaje.
[1] Sam Epstein, Beryl
Williams Epstein. The first book of teaching machines. Franklin
Watts, Inc. New York, 1961.
[6] Beyond
the Hole in the Wall: Discover the Power of Self-Organized Learning. TED
Books. Kindle Edition. Amazon, 2012.
[9] Leal, Diego. Re-aprender. Ambientes
Personales de Aprendizaje y Redes sociales: las bases del aprendizaje en red. Blog.
[10]
Parra, Blanca. Mi
ambiente personal de aprendizaje. Aprendizaje
mediado por TIC. Blog. Julio 2010.
[12] Fiedler, S., Väljataga, T. Personal learning environments:
concept or technology? International Journal of Virtual
and Personal Learning Environments. Volume 2 Issue 4, October 2011. Pages 1
– 11. IGI Publishing Hershey PA, USA.
[13]Bruner, Jerome S. Beyond the Information Given: Studies in the
Psychology of Knowing. New York,
Norton, 1973.
[14] Castañeda, L; Adell, J. El Ecosistema pedagógico de los PLEs.
Entornos Personales
de Aprendizaje: Claves para el Ecosistema Educativo en Red. Alcoy: Marfil, 2013. Página 46.
martes, 25 de octubre de 2016
Mi experiencia frente a las dificultades de los estudiantes Apuntes para un taller
Para mí era incomprensible que los chicos no entendieran lo
que significaba “máximo común divisor” por ejemplo, puesto que en ese título
está contenida la definición. Me llevó un par de semanas y unos cuantos
experimentos darme cuenta de que:
- La enseñanza por la que habían pasado los hizo memorizar nombres como etiquetas, desligados de cualquier significado
- Los algoritmos relacionados con esas etiquetas estaban vacíos porque nunca se construyó significado para ellos
- El problema de lenguaje no era solamente en lo referente a matemáticas
En la época, 1972, yo todavía era estudiante de licenciatura
y nunca había tenido dificultades para comprender un texto. Sin más evidencia
que lo que observaba con los chicos de los cinco grupos, hice mi primer par de
estudios totalmente empíricos. Como tareas les pedí:
- Que escribieran lo que era un día regular, entre semana, desde que despertaban hasta que se dormían
- Que escribieran su biografía
La composición de los grupos era heterogénea: chicos cuyos
padres eran ingenieros en el Instituto Mexicano del Petróleo (situado justo
frente a la escuela) y chicos hijos de campesinos que venían desde las
pirámides (Teotihuacán), por ejemplo; chicos que tomaban cursos de idiomas o de
música o de danza o de karate por las tardes, chicos cuyos padres (ambos)
trabajaban y entonces debían llegar a sus casas a ocuparse de disponer la mesa
para la comida y ayudar en tareas domésticas, chicos que trabajaban por las
tardes y hasta parte de la noche para apoyar a la economía familiar. Los
conflictos familiares eran igualmente variados y, en algunos casos, muy
intensos.
Todo lo anterior se reflejaba en sus escritos. De las actividades desarrolladas en un día regular podía calcularse un promedio de 5 horas de televisión por día. Mientras menos favorecidos económicamente más horas de televisión al día. En la escritura de su autobiografía la falta de lenguaje y de claridad era muy evidente. En el caso más grave que recuerdo el chico se describía en el estilo de las estampitas de los héroes que se venden en las papelerías: “Fulanito de tal. Nació en ____ el día ____. Sus padres fueron ____ y ____.”
Todo lo anterior se reflejaba en sus escritos. De las actividades desarrolladas en un día regular podía calcularse un promedio de 5 horas de televisión por día. Mientras menos favorecidos económicamente más horas de televisión al día. En la escritura de su autobiografía la falta de lenguaje y de claridad era muy evidente. En el caso más grave que recuerdo el chico se describía en el estilo de las estampitas de los héroes que se venden en las papelerías: “Fulanito de tal. Nació en ____ el día ____. Sus padres fueron ____ y ____.”
Mucho tiempo después, a través del análisis de mi propia
experiencia como estudiante a lo largo de los años, de las de mis estudiantes
en todos los niveles y de la de mi hijo, cuando comenzó a mostrar sus
habilidades, comprendí que la adquisición temprana de un lenguaje suficiente y
claro era lo que estaba en la base de la comprensión en matemáticas y cualquier
otra área de estudio, en cualquier nivel. Adicionalmente, la lectura de los
trabajos que encuentran relaciones de causa-efecto entre lenguaje materno y
matemáticas, o los trabajos sobre la adquisición del lenguaje y la lectura de
Emilia Ferreiro confirmaron mi hipótesis.
En aquel momento, y después de revisar y analizar las producciones de los chicos, lo primero que hice fue dedicar una semana por grupo (4 horas) a construir un lenguaje que nos permitiera comunicarnos sin muchos tropiezos y a crear un ambiente de confianza para que pudieran expresar sus dudas sin temor. Por mi parte, comencé a ver las series de televisión que habían mencionado en sus escritos para poder crear metáforas que les hicieran sentido.
En aquel momento, y después de revisar y analizar las producciones de los chicos, lo primero que hice fue dedicar una semana por grupo (4 horas) a construir un lenguaje que nos permitiera comunicarnos sin muchos tropiezos y a crear un ambiente de confianza para que pudieran expresar sus dudas sin temor. Por mi parte, comencé a ver las series de televisión que habían mencionado en sus escritos para poder crear metáforas que les hicieran sentido.
Entonces vino la parte del lenguaje matemático: máximo común
divisor significa “el mayor de los divisores comunes a dos números enteros
dados”, y cada palabra tiene significado preciso. Común no significa vulgar, por ejemplo; significa que es
algo que corresponde a dos o más sujetos. Batman y Robin tienen en común que
aparecen en la misma serie de caricaturas (en la época); todos ustedes tienen
en común que están en este grupo; etc.
Lo que puedo testimoniar es que, aunque parece un proceso
lento, esta manera de trabajar permite luego avanzar con velocidad
uniformemente acelerada porque se va construyendo cada concepto, cada proceso,
sobre cimientos sólidos.
El proceso anterior es algo que he repetido con cada uno de los grupos, de cualquier nivel, al inicio de un curso. Establecemos reglas de convivencia que nos permitan trabajar en un ambiente de confianza y respeto, además.
Por otro lado, en lo que concierne a los contenidos de los cursos, lo que encuentro muy necesario es tomar en cuenta el pasado académico del estudiante (del grupo y de las individualidades más notables) para construir un puente que les permita llegar al punto de inicio del curso. En las condiciones actuales, tomando como punto de partida los lamentables programas educativos de todos los niveles, es prácticamente imposible esperar que un chico que se inicia en el álgebra pueda tener éxito sin un antecedente numérico.
El proceso anterior es algo que he repetido con cada uno de los grupos, de cualquier nivel, al inicio de un curso. Establecemos reglas de convivencia que nos permitan trabajar en un ambiente de confianza y respeto, además.
Por otro lado, en lo que concierne a los contenidos de los cursos, lo que encuentro muy necesario es tomar en cuenta el pasado académico del estudiante (del grupo y de las individualidades más notables) para construir un puente que les permita llegar al punto de inicio del curso. En las condiciones actuales, tomando como punto de partida los lamentables programas educativos de todos los niveles, es prácticamente imposible esperar que un chico que se inicia en el álgebra pueda tener éxito sin un antecedente numérico.
Hay que tomar en cuenta que el conocimiento
pitagórico sobre los números (Libro II de los Elementos de Euclides) se sitúa hacia los siglos V y VI antes de
Cristo, mientras que el álgebra desarrollada por Al-Jwarizmi data del siglo IX
después de nuestra era y el desarrollo del álgebra muy en la forma en que
pretendemos que la aprendan los alumnos en el bachillerato se desarrolló en
Europa, en Italia y Francia notablemente, a partir del siglo XV.
El desarrollo de la pura noción de numero negativo tiene una
duración de alrededor de quince siglos, de acuerdo al análisis de Georges
Glaeser en La epistemología de los
números relativos[1]:
“desde la época de Diofanto hasta nuestros días” dice. Porque una cosa es
manipular los números (así sea con precisión, como ocurría con los matemáticos
incluso notables) y otra cosa es comprender absolutamente el concepto.
Glaeser comenta que “Numerosos son los maestros que no
sospechan que el aprendizaje de las reglas de los signos puede comportar
dificultades.” Y suponen que es un problema del alumno. Incluso, dice: “Hans
Freudenthal (uno de los matemáticos y educadores en matemáticas que más han
contribuido a establecer las dificultades en el aprendizaje de esta materia,
consignado en su obra clásica Mathematics
as an Educational Task[2]
y fundador de la revista especializada Educational
Studies in Mathematics[3])
consagra 160 páginas del libro a examinar muchas de las dificultades que
conlleva el aprendizaje de los números, y sin embargo apenas menciona la regla
de los signos.”
“Uno se explica fácilmente este olvido sorprendente. En la
época en la que él escribía esta obra, Freudenthal escogía los temas de sus
análisis didácticos de entre sus recuerdos personales. Ahora bien, ningún
matemático de su generación (ni de las nuestras) guarda recuerdo alguno de
haber sido turbado por la regla de los signos.”
Sin embargo, Piaget (muy sensible a las observaciones que
hace sobre los niños), consagra varias páginas de su obra Introduction à l’épistémologie génétique [4]
a las dificultades provocadas por los números negativos.
Las señales de las dificultades que han enfrentado los
estudiantes con esta noción se encuentra, entre otros casos, en la
autobiografía de Stendhal, La vida de
Henry Brulard. La parte donde hace referencia a estas dificultades la resumí
en una especie de comic:
Es decir: no es tan sencillo como
lo hacen parecer los programas educativos que parten del profundo desconocimiento
de quienes los redactan. Y los profesores que creemos que lo más importante es
terminar un programa, aunque los alumnos no aprendan ni un ápice, no ayudamos
en ningún sentido a la formación o el interés por los estudiantes en la materia
o en su aplicación para resolver problemas que tengan sentido.
Se trata,
pues, de crear las condiciones y los apoyos para que el estudiante comprenda y
no para que apruebe un curso sin sentido que solamente sirva para cumplir con
indicadores escolares e institucionales. O no nos quejemos de lo que ayudamos a
crear.
[1] Glaeser, Georges. Epistémologie
des nombres relatifs.
Recherches en didactique des mathématiques. Vol 2/3. La pensée sauvage. 1981. Traducción al
español de Marco Antonio Valencia, Fernando Ávila y Blanca M. Parra, publicada
por la Sección de Matemática Educativa del CINVESTAV, en 1983.
[2]
Freudenthal, Hans. Mathematics as an Educational Task. D. Reidel Publishing Company,
Dordretcht-Hollland. 1973.
[3] Educational Studies in Mathematics. An International Journal. Editor-in-Chief: Merrilyn Goos. Springer.
[4] Piaget, Jean. Introduction à l’épistémologie génétique. 1. La pensée mathématique. Presses Universitaires de France. 1973.
Pag 110 – 115 : Le nombre négatif et le zéro.
martes, 27 de octubre de 2015
Actividades recientes.
Muchas cosas han ocurrido durante este año. Comenzaré a compartir lo más reciente.
Comenzó con una invitación de Toño Falcón para unirme a un
proyecto que se desarrolla en el CIPEC, trabajando con niños de diferentes
comunidades de León, de diferentes grados escolares que van de la secundaria al
bachillerato y que tienen diferentes intereses; algunos participan en una
orquesta de niños apoyada por el Municipio. Toño trabaja con ellos los sábados
de las 9 a las 14 horas, en apoyo a los cursos regulares que tienen en sus
respectivas escuelas durante la semana regular. Son 17 jóvenes, inquietos como
todos los de esa edad.
El primer sábado, el 17 de octubre, llegué justo cuando iniciaba un receso para desayunar en el comedor de CIPEC, de manera gratuita. Eso sí, deben colaborar a la limpieza y orden del lugar. Luego nos fuimos al aula, razonablemente equipada, donde fui presentada. Era la hora de la clase de matemáticas. Conversé un poco con ellos, sobre si les gustaba o no la clase de matemáticas (la mitad dijo que no) y si sabían, por ejemplo, para qué sirve el teorema de Pitágoras en la vida real “de la realidad tangible” de todos los días (es decir, no dentro de las clases de matemáticas), si sabían que el mismo Pitágoras había tenido la idea de la escala musical (a lo que dijeron que no)y les propuse que vieran Donald en el país de las matemágicas, en YouTube. Luego les pregunté sobre lo que les interesaría saber.
El primer sábado, el 17 de octubre, llegué justo cuando iniciaba un receso para desayunar en el comedor de CIPEC, de manera gratuita. Eso sí, deben colaborar a la limpieza y orden del lugar. Luego nos fuimos al aula, razonablemente equipada, donde fui presentada. Era la hora de la clase de matemáticas. Conversé un poco con ellos, sobre si les gustaba o no la clase de matemáticas (la mitad dijo que no) y si sabían, por ejemplo, para qué sirve el teorema de Pitágoras en la vida real “de la realidad tangible” de todos los días (es decir, no dentro de las clases de matemáticas), si sabían que el mismo Pitágoras había tenido la idea de la escala musical (a lo que dijeron que no)y les propuse que vieran Donald en el país de las matemágicas, en YouTube. Luego les pregunté sobre lo que les interesaría saber.
“Nunca he entendido lo de la recta numérica” dijo uno de los
más pequeños. En lo que me explicó que hace su profesor, en la escuela, quedó
claro que el profesor no tiene idea de lo que se trata y comete algunos de los
errores que he observado antes con alumnos de diferentes edades. Peor, “Mi
maestro es un flojo que nunca responde nada”, completó el chico, “bueno, son
dos y de los dos no se hace uno”. Triste realidad de muchos de los docentes,
desde los tiempos en que hacía observaciones y apoyaba a una profesora de una
escuela secundaria en Ciudad Netzahualcóyotl, como parte de mi entrenamiento en
la investigación educativa, hacia 1975.
“No entiendo las ecuaciones” dijo uno de los mayores, alumno
de bachillerato (y me horroriza darme cuenta de que lo que eran temas de la
secundaria ahora se abordan en el bachillerato y es, fundamentalmente, parte de
la problemática de la falta de formación docente). Sí, entendían que una
literal representa una incógnita, pero hasta ahí.
Comenzamos por el primer punto, explicitando cómo se
construye la recta numérica, la necesidad de un punto inicial u origen a partir
del cual se marcarán las unidades, elegidas según lo que uno vaya a representar
pero todas de la misma longitud. Hablamos de los números de contar y de lo que contamos:
personas, naranjas, canicas, etc. Y tocó el turno de hablar de fracciones y
decimales. ¿Para qué los necesitamos? No lo asociaban con medición y expresión
de una medida. Convenientemente llevaba
algunos de los impresos de los supermercados, anunciando ofertas. Ahí aparecen
los decimales, y ahí está presente la idea de partir las unidades y la
necesidad de fracciones y decimales. La actividad de “La Patita”, y la de
aprovechar descuentos en porcentajes es algo que surgirá de manera natural en
sesiones próximas.
Para aligerar la sesión expliqué el "juego" de Quién dice 20, la situación didáctica clásica propuesta por Brousseau, y la jugaron en equipos: los chicos de secundaria versus los de bachillerato. La finalidad: mostrar que el grado en el que estudian no es un factor para tener un buen desempeño. Cada equipo elegía a su representante en cada ocasión. Al que llegaba primero a 20 se le obsequiba una paleta de caramelo, y eso incrementó el interés en participar. Para la primera ronda del juego un volado decidió qué equipo comenzaba.
En la segunda ronda cayeron en cuenta que el que decía 17 ganaba el juego;
en el tercero, que lo importante era llegar a 14;
en el sexto, que la clave era llegar a 11.
Ahí les pedí analizar lo que seguiría pasando, y concluyeron sin dificultades; pero lo importante es que ya estaban enganchados.
Para aligerar la sesión expliqué el "juego" de Quién dice 20, la situación didáctica clásica propuesta por Brousseau, y la jugaron en equipos: los chicos de secundaria versus los de bachillerato. La finalidad: mostrar que el grado en el que estudian no es un factor para tener un buen desempeño. Cada equipo elegía a su representante en cada ocasión. Al que llegaba primero a 20 se le obsequiba una paleta de caramelo, y eso incrementó el interés en participar. Para la primera ronda del juego un volado decidió qué equipo comenzaba.
En la segunda ronda cayeron en cuenta que el que decía 17 ganaba el juego;
en el tercero, que lo importante era llegar a 14;
en el sexto, que la clave era llegar a 11.
Ahí les pedí analizar lo que seguiría pasando, y concluyeron sin dificultades; pero lo importante es que ya estaban enganchados.
Hablamos entonces del asunto del álgebra en tanto que
resolución de acertijos que deben traducirse a un lenguaje simbólico para poder
resolverlos de manera algorítmica, que es la idea que expusieron, aunque no en esos términos. Comencé planteando el problema 1 del libro I
de las Aritméticas de Diofanto. Hubo
diferentes maneras de resolverlo, por supuesto, pero predominó el tanteo. Enseguida propuse el problema
de las gallinas y los conejos, que no encontraron manera de resolver, excepto
por dos chicos que lo hicieron por tanteos. Después de un rato les
propuse la solución de dibujar las cabezas, como hicieron mis alumnos de primero de secundaria hace unos 40 años, y mientras las dibujaba surgieron
las propuestas de poner dos patas a cada cabeza y… terminaron sin mucho problema. Luego analizamos esa solución para convertirla en procedimiento algebraico.
Eso permitió plantear un problema semejante, ahora con
monedas de 5 y de 10 pesos. Y lo inconveniente de estar dibujando cuando el
número de monedas es muy grande. Y de ahí, la necesidad de generalizar el
procedimiento algebraico, etc.
Ya animados, una chica dijo que no entendía eso de dividir
polinomios. Comencé con el algoritmo euclidiano de la división de enteros, y lo
enuncié completo. Por analogía desarrollé paso a paso la división de dos
polinomios, haciéndolos participar en la solución (en un punto hubo que
explicitar que x^5/x^3 significa simplificar (xxxxx)/(xxx), por ejemplo (de donde
resulta a regla para dividir potencias de una variable), y enuncié la condición
final sobre el orden del residuo. Algunos dijeron que eso era de prepa, y
comenté que no hay semejantes límites cuando nos interesa un tema.
Compartí entonces una actividad que Papini y yo propusimos a
niños que recién terminaban la primaria, en un curso de verano que organizamos
para indagar sobre la proporcionalidad previa a la introducción a la
probabilidad: Un depósito está lleno de
agua y, por efectos de evaporación, cada día pierde la mitad de lo que tiene
por la mañana. ¿Cuántos días son necesarios para que el depósito quede
completamente seco? Mientras iba cerrando la sesión, respondiendo preguntas
sobre mí y sobre mi hijo, compartiendo el uso de Wolfram Alpha y recogiendo mis
materiales, uno de los chicos me dijo: “ya voy en el día 70 y no se acaba”.
Solamente sonreí. Por Toño supe, durante la semana, que seguían calculando y
preguntando por la respuesta.
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