Actualización CIPEC: última sesión de diciembre 2016

Diciembre cerró hermosamente. Entre risas y bailes

Trabajamos, por supuesto, después de habernos puesto los zapatitos tejidos por mi madre:

El tema de la sesión: la luz

El pretexto: un pequeño caleidoscopio que llevé a la clase y que fue pasando de mano en mano y de ojo en ojo antes de que comenzara la sesión de respuestas a la pregunta planteada en el pintarrón:

Seguido de una breve descripción de cómo habría que construir un caleidoscopio sencillo, y de una nueva pregunta:

Y de la geometría requerida:

Sin embargo dejamos pendiente este proyecto para buscar entender la manera en que el ingrediente fundamental, la luz, permite generar las imágenes en el caleidoscopio:

Y la pregunta final se quedó como reflexión, dado que de momento no tenían respuesta (aparentemente nunca han jugado con espejos). Aunque ya sabemos que no hay continuidad, y había que prepararse para el regreso, en enero.

Los chicos me hicieron regalos:

Una libreta cuya cubierta fue elaborada por ellos, con asistencia de la maestra Edna:

Un dibujo espontáneo:

Mensajes, en el interior de la libreta:

Más tarde Toño me hizo llegar algo que me conmovió. La foto es todo un regalo, y es un grito: nos nos dejen!

 

Las últimas semanas de noviembre, en el CIPEC

Para no perder el hilo del trabajo con los chicos en el CIPEC, conviene recordar lo que siguió después de la sesión en la que retomamos el asunto de la perspectiva, la proporcionalidad, etc., el 12 de noviembre.

En la sesión de 19 de noviembre hablamos de los entornos en los que nos desenvolvemos, especialmente la casa que habitamos y las personas con quienes la compartimos. El ejercicio propuesto fue construir el plano de la casa que nos gustaría tener en un futuro; primero la planta y luego el levantamiento. Y compartir con el grupo la construcción y  als ideas detrás de ella.

Lo único dibujado en el pizarrón fue una habitación rectangular, en isométrico, y el plano de lo que sería mi casa construida en algún pueblo con playa:

Luego, cada uno se dedicó a desarrollar su idea y, posteriormente, a compartir las respuestas a la pregunta que también se escribió en el pizarrón. Los chicos solamente desarrollaron las plantas de sus casas hipotéticas. En sus historias conservan a sus familiares viviendo con ellos en su vida futura. El desarrollar los levantamientos y visualizar las fachadas se les quedó como tarea pero, como sucede con estos trabajos, nunca llegan a realizarse por la falta de tiempos entre semana y de continuidad entre lo que hacemos los sábados y sus deberes en el resto de los días.

Algo en lo que hay que trabajar.

Reinicio en el CIPEC

El sábado 1 de octubre retomé las actividades con los chicos del CIPEC después de casi dos meses de ausencia. Terminó un ciclo e inició otro; algunos chicos se fueron, pero llegaron nuevos. Y, como siempre, la experiencia fue muy satisfactoria.

Dado que no hay manera de retomar desde el punto anterior se hizo necesario recomenzar, pero sin repetir lo que algunos ya habían visto. Así, volvimos a abrir el cajón de la aritmética encaminada al álgebra elemental. La propuesta: construir el triángulo de Pascal hasta la décima potencia, sin ninguna explicación adicional.

La secuencia de fotos muestra el proceso.

Por razones que no entendí decidieron escribir sobre sus rodillas, a pesar de la invitación a utilizar las mesitas (se organizan según las necesidades) o a trabajar sobre el piso, como lo han hecho en ocasiones anteriores.

Los primeros pasos y la invitación a continuar hasta la potencia 10, con la mención explícita de la potencia 0

Después de ver las producciones de los chicos y de observar los errores cometidos, escribí las líneas siguientes, le puse nombre al objeto y compartí la sugerencia para saber más. Apenas son visibles las líneas que marqué para ayudarlos a visualizar el patrón (una de las fuentes de error más frecuentes en matemáticas es no reconocer los patrones) y organizar su trabajo:

Siguió registrar las observaciones que fueron haciendo mientras construían el triángulo:

Para darle sentido algebraico, a continuación. Comenzamos con una brevísima presentación de Euclides:

Y el álgebra geométrica del libro II de los Elementos

Para establecer el cuadrado del binomio

Y la relación de los coeficientes con los números en el renglón 2 del triángulo de Pascal

Y saltar al cubo del binomio, utilizando meramente los coeficientes dados por el tercer renglón del triángulo

 Y la cuarta potencia 

 Para terminar mostrando un ejemplo de aplicación para calcular cualquier potencia de cualquier binomio, siempre y cuando tengamos en cuenta las reglas de los signos y las de los exponentes.
Y hacer notar uno de los errores más comunes entre los alumnos, cada vez que tienen que calcular el cuadrado de un binomio.

Mañana (sábado 8) continuaremos con este tema en un contexto ligeramente distinto: Probabilidad.

Actividad matemática en el CIPEC

La semana pasada compartí un texto sobre lo que es la actividad matemática , tomado del libro La mistyfication mathématique de Alain Bouvier, que incluye una propuesta de 50 problemas entre abiertos y ya resueltos, sin que conozcamos en cuál de estas categorías está cada uno y, evidentemente, sin soluciones (para los ya resueltos) ni hints.

El libro llegó a mis manos en 1985 mientras estaba en el IREM de la Universidad París 7 Diderot, a punto de presentar mi tesis. Desde entonces lo he utilizado en diferentes ocasiones para tratar de despertar el interés por una verdadera actividad matemática con los estudiantes desde muy temprana edad. La resistencia es enorme porque, fundamentalmente, muy pocos docentes han entrado en este terreno y ante la ausencia de guías externos que les permitan saber si “voy bien o me regreso” se sienten desconcertados y desamparados. Traduzcan eso a lo que hacen en sus cursos: puras cosas previsibles, dependiendo del grado o el momento del ciclo escolar. No vamos a encontrar una ecuación lineal con soluciones negativas si no se han introducido los números negativos y las operaciones con ellos, por ejemplo. Y con enteros, por favor. Dado que nunca estuve sujeta a semejantes cosas, decido que siempre es buen momento para comenzar la exploración.

Hacia 1986-1987, mientras desarrollábamos uno de los primeros cursos de la maestría en Educación Matemática, modalidad semiabierta, en la Universidad de Guadalajara, me tocó hacerme cargo de las sesiones de heurística. El grupo estaba integrado por maestros de matemáticas para ingeniería, maestros de matemáticas de bachillerato y estudiantes de la licenciatura en matemáticas en su último semestre. De los 50 problemas propuestos por Bouvier seleccioné un problema diferente para cada subgrupo.

Me ocuparé del problema 36, propuesto a los estudiantes de último semestre de la licenciatura en matemáticas a quienes daba gusto (OK, no) escuchar hablar de los títulos de sus tesis sobre topología algebraica y menjurjes semejantes con aire docto.

El problema 36 pide encontrar los valores que puede tomar un entero positivo n para que 4^n + n^4 sea un número primo.

Para mi sorpresa, los estudiantes comenzaron a ensayar uno a uno los números del 1 al 17 antes de establecer un hecho que a uno puede parecerle obvio. Y es justo en ese punto donde los chicos del CIPEC mostraron que lo que necesitan son oportunidades.

La sesión en el CIPEC comenzó, como de costumbre, conversando con los que llegan temprano acerca de lo que han experimentado/aprendido/disfrutado/odiado en los días previos de esa semana. Hubo homemade brownies para potenciar el arranque, recordando que debíamos de decidir a quién habría que regalarle el libro de Alicia en el país de las maravillas que Célica Cánovas nos había donado. Después de hacer una semblanza de Lewis Carroll y Alicia y una breve introducción al libro, decidí que sería para quien mostrará razonamiento lógico en sus participaciones de la mañana.

Para entrar en calor les propuse un ejercicio que aparece en un problemario de preparación para un concurso de ¡informática!: ¿cuál es el último dígito de 2013^2013 ?

Es evidente que su calculadora no puede ayudarles. ¿Cómo podrían responder?

“Multiplicamos” dijeron algunos. Inténtenlo, respondí. Pero Paola, la más pequeña de las chicas, dijo que no sabía qué significaba la escritura dada. Me fui al origen, con Diofanto y su dedicatoria de sus libros de Aritmética, explicitado lo que significa x^n para valores de n = 1, 2, 3 y 4.

Resultó que ella no era la única con esa laguna cuando al escribir x^2 algunos dijeron que el valor de x se multiplicaba por 2. No avanzamos hasta que para todos quedó claro que la n se refiere al número de veces que se toma x como factor. Unos 10 minutos.

Regresamos al ejercicio: ¿cuál es el último dígito de 2013^2013? Que cambié por ¿en qué dígito termina 2013^2013? Mucho desconcierto, por supuesto. Propuse que uno siempre puede tratar de entender con un problema más sencillo (Polya dixit) y escribí 23^23, que sigue estando fuera del alcance de las calculadoras. Hice hincapié en que no nos interesa el resultado total sino solamente el dígito que representa las unidades. Hicimos un par de ejercicios para explicitar el algoritmo de la multiplicación paso a paso y notar que las unidades del producto provienen solamente del resultado de multiplicar las unidades de los dos factores en cuestión. Por ejemplo, si multiplicamos 27 por 63 sabemos (debiéramos de) que el producto termina en 1.

Entonces propuse esa actividad a la que el niño de seis años, François Le Lionnais, se entrega en una tarde aburrida de un verano caluroso (hacia 1908).  La historia es importante porque toca una de las quejas de la mañana: “me aburro en mi casa y no me gusta estar aquí”.

Le Lionnais cuenta que en ese estado de aburrimiento comenzó escribiendo los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y pensó, por supuesto, que el último dígito de cualquier otro número es, necesariamente, uno de esos dígitos (Le Lionnais no incluyó al cero, de lo cual se dio cuenta unos años después, pero yo lo hice para los chicos).

Determinó que al multiplicar un número por sí mismo (desconocía, dice, que eso se denominaba "cuadrado del número") el resultado solamente pueden terminar en  0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, correspondiendo a cada uno de los dígitos.

En ese momento tenía las dos líneas siguientes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

0, 1, 4, 9, 6, ,5, 6, 9, 4, 1

Se percató, entre otras cosas, de la simetría en torno al 5, lo cual lo incita a continuar con las terminaciones de los cubos:

0, 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9.  

Un desorden con algunas propiedades. Intrigado, intenta con la cuarta potencia:

0, 1, 6, 1, 6, 5, 6, 1, 6, 1.  

Que es una sorpresa total por su simetría, para comenzar, y porque no son muchos los sobrevivientes, dice.

¿Qué ocurrirá con la quinta potencia? Obtiene

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

En ese momento Paola, la chiquita que no conocía el significado de la potencia, dijo en voz alta: “¡entonces hay que dividir entre 4.”

1. Alicia en el país de las maravillas  encontró a su dueña
2. Le pregunté qué había que dividir entre 4 (en 23^23)

Nos explicó:

23, del exponente, entre 4 da 5 y sobran 3. Así que hay que ir a la tercera fila de las cuatro creadas, y mirar la que corresponde al 3: es 7. 23^23 termina en 7.

No estaba segura de que todos hubieran entendido cabalmente lo que acababa de suceder ni la explicación. Hicimos un par de ejercicios antes de regresar a 2013^2013.

Sí: “hay que dividir entre 4” se entendió dentro del contexto de la sesión, aunque habría que ver más adelante si se produjo conocimiento.

Al dividir 2013 entre 4 tenemos 1 como residuo, lo que significa que nos fijamos en la primera fila, en la columna que corresponde al 3: es 3

Había transcurrido alrededor de una hora desde que iniciamos la sesión, y todavía disponíamos de unos 30 minutos. Propuse el ejercicio 36 de la lista de Bouvier:

encontrar los valores que puede tomar un entero positivo n para que 4^n + n^4 sea un número primo.

“No me acuerdo cuáles son los números primos”, se escuchó. Escribí la definición en una esquina del pizarrón y la lista de los primos menores que 50. Hicimos el cálculo de  4^n + n^4 para n = 0, 1, y 2 y observamos que cuando n=1 obtenemos 5 como resultado, y entonces tenemos un número primo. Replantee el problema: ¿para cuales otros valores de n se obtienen números primos?

Después de un momento se produjo el segundo momento mágico: “No funciona para los números pares” dijo Itzel, una chica que ese día festejaba su cumpleaños 17. Añadió: “siempre daría un número par” (utilizó, por supuesto, los resultados del ejercicio anterior, mostrando que lo había vuelto conocimiento útil).

Excelente, dije. ¿Cuáles nos quedan como candidatos? “Los que terminan en 1, 3, 5, 7 y 9”, dijeron.

Continuar la exploración se quedó como tarea porque se nos acabó el tiempo.

Lo sorprendente es que estos chicos no han tenido otro entrenamiento que lo que han aprendido en la escuela y lo que hacemos en las sesiones sabatinas, las cuales no apuntan a convertirlos en campeones de concursos o semejantes. De hecho, la candidata más fuerte para participar en los concursos estatales, dentro de este grupo (sí, también es niña), no se escuchó durante estos ejercicios.

La otra cosa sorprendente, y que contrasta tremendamente con la petulancia de aquellos estudiantes de matemáticas en cursos de maestría (y no debería sorprenderme) es que aquí no necesitaron probar del 1 al 17 para darse cuenta de lo que Itzel hizo notar.

Si revisamos todo este rollo, quitando el anecdotario y haciendo un ejercicio de taxonomización, nos daremos cuenta de la cantidad de conocimiento generado/recuperado/puesto a prueba en una sesión que puede resumirse en 45 minutos tal vez, pero que sería tremendamente aburrida y desgastante sin esta comunicación/comunión en la que cada uno puede participar y expresar lo que no entiende sin temores, entre iguales.

Yo salí muy satisfecha, preparando lo que será la sesión del próximo sábado la cual iniciará con un breve convivio de festejo de tres cumpleañeros. Esos momentos, para mi gusto, son lo que permiten crear el ambiente de las sesiones de trabajo.

La actividad matemática

Hace tiempo preparé un material a este respecto, para un "Diplomado en Enseñanza de las matemáticas para profesores de preparatoria y la universidad", que diseñé e impartí mientras estaba a cargo de la Coordinación de Desarrollo Educativo en la Ibero Tijuana.

La presentación que acompañó a la sesión sobre lo que significa "actividad matemática" se titula "La mistificación matemática", tomada del libro de Alain Bouvier que lleva ese nombre.

Sobre la importancia de aprender a plantear y resolver problemas de matemáticas hubo también una presentación, además del documento completo con algunas referencias.

Esta semana, a propósito de las actividades que desarrollamos con los chicos del CIPEC, sumamente desestructuradas pero diseñadas ex profeso, decidí hacer una traducción libre y sintetizada del primer capítulo del citado libro de Alain Bouvier: La mystification mathématique.

Se trata, fundamentalmente, de una propuesta de cincuenta problemas dirigidos a los docentes de matemáticas y es una invitación a participar y comprender lo que es la actividad matemática. Es una invitación también a ir dando cuenta de nuestro propio proceso, el que desarrollamos cuando incursionamos en esta actividad, pero también de observar a otros docentes y hasta a algunos alumnos cuando se involucran en ella.

Los problemas, como se menciona en el documento, pueden ser problemas para los cuales todavía no se tiene una solución o ejercicios que pueden resultar sencillos para algunos. Bouvier no indica cuáles pertenecen a cada categoría. Por supuesto, no hay respuestas o hints para ellos.

Disfruten el viaje que supone La actividad matemática.

La sesión de cierre con los chicos del CIPEC

Cinco sesiones de hora y media, una cada sábado, que terminaron ayer, 28 de noviembre.

Interesante y gratificante ver a estos niños/adolescentes que comenzaron diciendo que no entendían cómo se construía la recta numérica, qué era un polinomio, cómo se dividían, y para qué servía el álgebra, llegar a este día con lo que se describe en las fotos en puro lenguaje simbólico, graficando en el plano cartesiano de Desmos.

Esta vez, la explicación se encuentra en las fotos que se comparten en el enlace.

La segunda sesión con los chicos del CIPEC

Ocurrió el sábado 24 de octubre.

Previamente recorté varios juegos de Tangrama, en fomi de colores, y los puse en bolsitas, cada una con algunos modelos de figuras a realizar: en las primeras se observaba con claridad la manera de disponer las siete piezas del Tangrama; en las siguientes se podían utilizar las anteriores como modelo para producir nuevas formas, sin el auxilio del trazo de las piezas; el tercer bloque era de figuras con un poco más de compejidad.

Antes de comenzar con este trabajo, en parejas, uno de los chicos me preguntó sobre el problema de la evaporación del agua, planteado al final de la sesión anterior. Había calculado hasta el día 1000 y todavía no estaba completamente seco el depósito. ¿Qué crees que pase?, le pregunté. "Nunca se termina, es infinito el número de días". Su primera aproximación al infinito potencial y actual, por supuesto.

Comentamos brevemente que se trataba de un experimento imaginado, porque en la realidad el agua no se evapora de esa manera, pero que hay procesos reales (como el tratar de descontaminar totalmente un lago, y lo que costaría) que siguen esos modelos donde el infinito se hace presente.

Entonces les expliqué la actividad con los tangramas;

1. Son siete piezas.
2. Se deben utilizar las siete piezas para armar cada una de las figuras.
3. Por cada figura bien formada les pondría un sticker de colores como marca de trabajo bien hecho.

A cada equipo le entregué su bolsita de material. Les pedí que explicaran las formas de las piezas y la semejanza entre algunas (los triángulos). Agunos detalles surgieron con respecto a cuadrado  y al trapezoide que nos hizo discutir las características de un rectángulo, de un rombo, de un cuadrado, y de los paralelogramos en general. Ideas mal formdas por la falta de reflexión propia de la enseñanza tradicional: rectángulo -> ángulos rectos; rombo -> cuatro lados de la misma longitud; ¿cuadrado? manipuaron un poco las figuras para concluir que el cuadrado es un rectángulo cuyos lados son todos iguales, y que es un rombo con ángulos rectos.

Cada equipo comenzó por formar las figuras del primer bloque: acomodar las piezas según se observaba en los diagramas.  Luego, intentaron con algunos del segundo bloque, aprovechando lo que habían aprendido formando las figuras del primero. Un equipo decidió ir directamente con el tercer bloque. Comenzaron los "¡ya hicimos una!" pero, al observarla, resultaba que los ángulos que habían formado no correspondían a los del modelo, o que la orientación de un elemento no correspondía. 

Al cabo de un rato, en uno de los equipos, una chica le dijo a su compañero "fíjate en los ángulos, éste es obtuso y el que hiciste no". Ese fue el primer logro independiente: desarrollar la capacidad de detectar, sin medir, las similitudes en las figuras, y utilizarlo como argumento válido.

En total deben haber construido unas cinco o seis figuras en cada equipo, en el tiempo disponible. Ell material se lo llevaron ellos. Al iniciar la siguiente sesión uno de los chiquitos me dijo que había estado jugando en su casa y le habían salido bien más figuras.

Actividades recientes.

Muchas cosas han ocurrido durante este año. Comenzaré a compartir lo más reciente.

Comenzó con una invitación de Toño Falcón para unirme a un proyecto que se desarrolla en el CIPEC, trabajando con niños de diferentes comunidades de León, de diferentes grados escolares que van de la secundaria al bachillerato y que tienen diferentes intereses; algunos participan en una orquesta de niños apoyada por el Municipio. Toño trabaja con ellos los sábados de las 9 a las 14 horas, en apoyo a los cursos regulares que tienen en sus respectivas escuelas durante la semana regular. Son 17 jóvenes, inquietos como todos los de esa edad.

El primer sábado, el 17 de octubre, llegué justo cuando iniciaba un receso para desayunar en el comedor de CIPEC, de manera gratuita. Eso sí, deben colaborar a la limpieza y orden del lugar. Luego nos fuimos al aula, razonablemente equipada, donde fui presentada. Era la hora de la clase de matemáticas. Conversé un poco con ellos, sobre si les gustaba o no la clase de matemáticas (la mitad dijo que no) y si sabían, por ejemplo, para qué sirve el teorema de Pitágoras en la vida real “de la realidad tangible” de todos los días (es decir, no dentro de las clases de matemáticas), si sabían que el mismo Pitágoras había tenido la idea de la escala musical (a lo que dijeron que no)y les propuse que vieran Donald en el país de las matemágicas, en YouTube. Luego les pregunté sobre lo que les interesaría saber.

“Nunca he entendido lo de la recta numérica” dijo uno de los más pequeños. En lo que me explicó que hace su profesor, en la escuela, quedó claro que el profesor no tiene idea de lo que se trata y comete algunos de los errores que he observado antes con alumnos de diferentes edades. Peor, “Mi maestro es un flojo que nunca responde nada”, completó el chico, “bueno, son dos y de los dos no se hace uno”. Triste realidad de muchos de los docentes, desde los tiempos en que hacía observaciones y apoyaba a una profesora de una escuela secundaria en Ciudad Netzahualcóyotl, como parte de mi entrenamiento en la investigación educativa, hacia 1975.

“No entiendo las ecuaciones” dijo uno de los mayores, alumno de bachillerato (y me horroriza darme cuenta de que lo que eran temas de la secundaria ahora se abordan en el bachillerato y es, fundamentalmente, parte de la problemática de la falta de formación docente). Sí, entendían que una literal representa una incógnita, pero hasta ahí.

Comenzamos por el primer punto, explicitando cómo se construye la recta numérica, la necesidad de un punto inicial u origen a partir del cual se marcarán las unidades, elegidas según lo que uno vaya a representar pero todas de la misma longitud. Hablamos de los números de contar y de lo que contamos: personas, naranjas, canicas, etc. Y tocó el turno de hablar de fracciones y decimales. ¿Para qué los necesitamos? No lo asociaban con medición y expresión de una medida.  Convenientemente llevaba algunos de los impresos de los supermercados, anunciando ofertas. Ahí aparecen los decimales, y ahí está presente la idea de partir las unidades y la necesidad de fracciones y decimales. La actividad de “La Patita”, y la de aprovechar descuentos en porcentajes es algo que surgirá de manera natural en sesiones próximas.

Para aligerar la sesión expliqué el "juego" de Quién dice 20, la situación didáctica clásica propuesta por Brousseau, y la jugaron en equipos: los chicos de secundaria versus los de bachillerato. La finalidad: mostrar que el grado en el que estudian no es un factor para tener un buen desempeño. Cada equipo elegía a su representante en cada ocasión. Al que llegaba primero a 20 se le obsequiba una paleta de caramelo, y eso incrementó el interés en participar. Para la primera ronda del juego  un volado decidió qué equipo comenzaba.

En la segunda ronda cayeron en cuenta que el que decía 17 ganaba el juego;
en el tercero, que lo importante era llegar a 14;
en el sexto, que la clave era llegar a 11.

Ahí les pedí analizar lo que seguiría pasando, y concluyeron sin dificultades; pero lo importante es que ya estaban enganchados.

Hablamos entonces del asunto del álgebra en tanto que resolución de acertijos que deben traducirse a un lenguaje simbólico para poder resolverlos de manera algorítmica, que es la idea que expusieron, aunque no en esos términos. Comencé planteando el problema 1 del libro I de las Aritméticas de Diofanto. Hubo diferentes maneras de resolverlo, por supuesto, pero predominó el tanteo. Enseguida propuse el problema de las gallinas y los conejos, que no encontraron manera de resolver, excepto por dos chicos que lo hicieron por tanteos. Después de un rato les propuse la solución de dibujar las cabezas, como hicieron mis alumnos de primero de secundaria hace unos 40 años, y mientras las dibujaba surgieron las propuestas de poner dos patas a cada cabeza y… terminaron sin mucho problema. Luego analizamos esa solución para convertirla en procedimiento algebraico.

Eso permitió plantear un problema semejante, ahora con monedas de 5 y de 10 pesos. Y lo inconveniente de estar dibujando cuando el número de monedas es muy grande. Y de ahí, la necesidad de generalizar el procedimiento algebraico, etc.

Ya animados, una chica dijo que no entendía eso de dividir polinomios. Comencé con el algoritmo euclidiano de la división de enteros, y lo enuncié completo. Por analogía desarrollé paso a paso la división de dos polinomios, haciéndolos participar en la solución (en un punto hubo que explicitar que x^5/x^3  significa simplificar (xxxxx)/(xxx), por ejemplo (de donde resulta a regla para dividir potencias de una variable), y enuncié la condición final sobre el orden del residuo. Algunos dijeron que eso era de prepa, y comenté que no hay semejantes límites cuando nos interesa un tema.

Compartí entonces una actividad que Papini y yo propusimos a niños que recién terminaban la primaria, en un curso de verano que organizamos para indagar sobre la proporcionalidad previa a la introducción a la probabilidad: Un depósito está lleno de agua y, por efectos de evaporación, cada día pierde la mitad de lo que tiene por la mañana. ¿Cuántos días son necesarios para que el depósito quede completamente seco? Mientras iba cerrando la sesión, respondiendo preguntas sobre mí y sobre mi hijo, compartiendo el uso de Wolfram Alpha y recogiendo mis materiales, uno de los chicos me dijo: “ya voy en el día 70 y no se acaba”. Solamente sonreí. Por Toño supe, durante la semana, que seguían calculando y preguntando por la respuesta. 

Sigue la historia de mis alumnos

Me queda claro que tanto la física como las matemáticas que han aprendido son de formulita. No saben analizar un problema ni, mucho menos, plantearlo. Un verano no da para deshacer todos los entuertos, sobre todo si el alumno es pasivo (también parte de su historia escolar) y no quiere arriesgar nada para no parecer "tonto". Solamente una alumna ha modificado esta actitud y los resultados son notables.

La cuestión es que el problema del cálculo del centro de masa siguió siendo difícil, dijeron.
Del libro de Física General de la serie Schaum debían resolver los ejercicios del 21 al 42 del capítulo 8, para un examen rápido, que aplicaría el lunes 30 de junio, para el que yo seleccionaría aleatoriamente uno de los ejercicios mencionados.

Me mandaron mensajes a través de Edmodo el domingo por la noche: que si era posible que antes del examen rápido resolviéramos las dudas. Casi todo eran dudas pero, especialmente, lo de centros de masa.

Sin revisar los problemas pregunté las dudas que habían surgido:

• cómo determinar la ubicación de la figura en el plano, de manera de simplificar los cálculos
• cómo determinar las "ecuaciones" de las curvas de la figura
• cómo determinar los límites de integración para los cálculos

y algunas cosas más.

Fui construyendo el siguiente diagrama, retroalimentado por las preguntas y dudas que iban surgiendo:

Todos quedaron satisfechos con la explicación.

Y entonces fuimos a ver el problema que no habían podido resolver, que resultó ser el 8.31

Es decir que no había nada de cálculo integral. Un simple ejercicio del centroide de un triángulo.

Antes de ver el ejercicio resuelto 8.10 (con las fórmulas) resolvimos el 8.31 trabajando a partir de la solución dada ahí mismo, y hacia atrás. Entonces "les cayó el veinte". Eso tampoco se les ocurre.

Lo que me parece más grave es esa parálisis que no les permite siquiera darse cuenta de lo ya hecho, de lo que tienen en las notas que hayan tomado en clase, etc. Pareciera que en automático la respuesta es "no sé y no voy a intentar comprender".

Mis reportes a las autoridades académicas, en el sentido de que estos alumnos necesitan una reeducación en matemáticas, particularmente, y no más cursos de formularios, recibieron como respuesta un "hay mucho por hacer". ¿Cuándo? ¿Quién?

Una secuencia de clase, en la revisión de un ejercicio de examen

 La secuencia de fotos muestra paso a paso la resolución de un ejercicio de examen en el que los alumnos tuvieron muchas dificultades, y que ninguno concretó. Los garabatos, flechas, enmarcados, cálculos explícitos, etc.  corresponden a explicaciones frente a las dificultades que fueron expresando durante la resolución en el pizarrón. Me parece que no necesita de más explicación.

Los alumnos cursan física por segunda vez, y ya cursaron y aprobaron Cálculo Diferencial e Integral.

En el examen podía utilizar cualquier recurso, y habían aprendido a calcular integrales en Wolfram Alpha.

Que no se les ocurra situar la figura en el plano cartesiano cuando se trata de determinar las coordenadas del punto, es grave.

Un alumno comentó que lo había intentado con "otra" rebanada y no le daba lo mismo. Dije que no haría todo el cálculo de nuevo. Mostré y expliqué lo siguiente:

Con eso terminó la revisión.

Les pedí hacer un diagrama de flujoo con el proceso y aplicarlo en el siguiente ejercicio. Resultado:

1) Los "algoritmos" son suficientemente vagos como para que no sean de utilidad
2) Ecuación y función son equivalentes para ellos
3) En ningún momento se refieren al diferencial de área que se explicita en una de las imágenes
4) No fueron capaces de resolver el ejercicio que se propuso a continuación


Este documento se compartió con la autoridad educativa. Su comentario: "hay mucho por hacer".