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miércoles, 31 de mayo de 2017

Segunda sesión e intermedios: asesoría de estadística

Durante la primera sesión de trabajo surgieron detalles interesantes:
  • El estudiante no recordaba haber aprendido a trazar gráficos de ningún estilo
  • Desconoce o no recuerda el uso de variables; se sorprende de que en la calculadora que utiliza (de la que desconoce las funciones) aparezca la x en diversas teclas
  • Comenta que todo se puede convertir a número
Para los primeros dos casos simplemente hay que ir con cuidado, haciendo notar el sentido, el uso y sus reglas; en el último caso, proporcionar una serie de ejemplos en los que eso no es verdadero. 
En la segunda sesión supe el origen de esa afirmación: la maestra proporciona ejemplos de codificación y los datos cualitativos se convierten en números en el mismo momento. Pero también, y de manera explícita, dice que algunas variables cuantitativas, como la edad, se pueden tratar tanto como variable cuantitativa y como variable cualitativa; agrega que si se trata de la edad de un individuo entonces es cuantitativa pero cuando se agrupan las edades en clases, la variable pierde su naturaleza cuantitativa:


Entre la primera y la segunda sesión hice el resumen que compartí en la entrada anterior de este blog y el siguiente mapa mental simple (y de carrera)


El estudiante en realidad no ha tenido tiempo de resolver ni un solo ejercicio, de modo que llegamos a la segunda sesión en la que me muestra una serie de "materiales" que le entregaron sus compañeros para que se prepare: una guía de estudio y unas cuantas fotos de las diapositivas en Power Point que constituyeron la clase.

La guía incluye una especie de resumen de los temas tratados:

Y los ejercicios propuestos a partir de una tabla de datos codificados, que es lo que lleva a pensar al estudiante que todo se convierte a número y entonces puede calcularse cualquier cosa:

 

Algunas de las fotos compartidas. 
Las que siguen se refieren al concepto de variable estadística:

 


Y luego, al muestreo:

 







Ahí es a donde el estudiante quiere llegar, y le urge. Pretende brincar a las técnicas de muestreo, intervalos de confianza y pruebas de hipótesis, sin conocer siquiera lo básico.

Sin embargo, uno de los ejercicios propuestos en la especie de guía de estudio le pide hacer un histograma a partir de datos brutos. De hecho pareciera que debe hacerlo con cada una de las variables de la tabla que le fue proporcionada donde aparecen números (códigos) para la variable Sexo y Orientación en el plano, por ejemplo, y otros valores numéricos que no tenemos idea de qué representan exactamente pero que podrían ser puntuaciones en un examen de aptitudes. Ese ejercicio da pie para que continuemos con lo básico, apuntado ya en el diagrama anterior.

El resumen de la sesión se presenta en dos partes en los enlaces siguientes.

Al recibir los materiales, el joven me reenvió las fotografías anteriores porque, evidentemente, tiene prisa en terminar de "aprender" lo que requiere para su examen. Le reitero:

Digamos que esos temas están en el diagrama que te envié ayer por la mañana. pero el diseño de encuestas o cuestionarios es otra cosa y debería ser realizado por expertos en el área de interés (maestros, sociólogos, políticos, etc.) porque cada uno busca información específica respecto a un grupo de la sociedad o de la sociedad competa.
En el caso de la criminalística, lo que interesa observar son variables de ese tipo: delitos cometidos, por tipo, y su relación con otras variables como pueden ser: sexo, grado de escolaridad, consumo de drogas, religión, filiación partidista, tipo de música preferida, y un gran etcétera.
Y entonces lo que se busca es la correlación entre la variable que nos interesa con cada una de las otras.
Y entonces estamos ya en otro contexto.
Cuando relacionamos variables (varias, de dos en adelante), podemos hacerlo de manera muy simple (comparación de medias, o comparación de varianzas, por ejemplo) o podemos meternos a lo que es el Diseño y Análisis de Experimentos (ANOVA, cuadrados latinos, cuadrados grecolatinos, etc.).
Para eso necesitamos la probabilidad, y que las variables sean verdaderamente cuantitativas. Y asegurar que tienen una distribución normal. A partir de esas certitudes es que pueden llevarse a cabo esos análisis.
La correlación simple sí puede detectarse aún cuando las variables no sean cuantitativas.
Y está toda la estadística no paramétrica que, lamentablemente, no se estudia en las universidades.

Aquí no voy a emitir juicios sobre la exposición de la maestra ni los comentarios que intercambiamos al respecto. Cada uno puede juzgar a partir de lo expuesto.

Algo que alcanzamos a hacer en la segunda sesión, cuando el estudiante ya pedía que lo dejara en paz (la sesión es de dos horas), fue calcular la media para los datos agrupados. Que no resultara lo mismo que en el caso de datos brutos le provocó un gran conflicto. Para él significaba que nos habíamos equivocado al hacer los cálculos ("las matemáticas son exactas" dicen algunos, y luego se topan con esto que los desconcierta y desanima). Y por ahí recomenzaremos en la sesión de mañana.










martes, 25 de octubre de 2016

Mi experiencia frente a las dificultades de los estudiantes Apuntes para un taller


 Cuando comencé a trabajar como docente de matemáticas, cinco grupos de primer grado en una secundaria técnica en la ciudad de México, sin preparación previa para desempeñarme como maestra ni interés manifiesto por semejante actividad, recuerdo (y lo he escrito muchas veces en blogsartículos sobre la docencia) que mi primera sorpresa no fue por las carencias en matemáticas que mostraban los chicos (mínimas comparadas con lo que constato ahora incluso en las universidades privadas más prestigiosas del país) sino por la incomprensión del lenguaje que supuestamente deben ser capaces de manejar. Por supuesto, las primeras manifestaciones se dieron respecto al lenguaje utilizado en matemáticas el cual, según yo, debieran conocer.
Para mí era incomprensible que los chicos no entendieran lo que significaba “máximo común divisor” por ejemplo, puesto que en ese título está contenida la definición. Me llevó un par de semanas y unos cuantos experimentos darme cuenta de que:
  1. La enseñanza por la que habían pasado los hizo memorizar nombres como etiquetas, desligados de cualquier significado
  2. Los algoritmos relacionados con esas etiquetas estaban vacíos porque nunca se construyó significado para ellos
  3. El problema de lenguaje no era solamente en lo referente a matemáticas

En la época, 1972, yo todavía era estudiante de licenciatura y nunca había tenido dificultades para comprender un texto. Sin más evidencia que lo que observaba con los chicos de los cinco grupos, hice mi primer par de estudios totalmente empíricos. Como tareas les pedí:
  • Que escribieran lo que era un día regular, entre semana, desde que despertaban hasta que se dormían
  • Que escribieran su biografía 

La composición de los grupos era heterogénea: chicos cuyos padres eran ingenieros en el Instituto Mexicano del Petróleo (situado justo frente a la escuela) y chicos hijos de campesinos que venían desde las pirámides (Teotihuacán), por ejemplo; chicos que tomaban cursos de idiomas o de música o de danza o de karate por las tardes, chicos cuyos padres (ambos) trabajaban y entonces debían llegar a sus casas a ocuparse de disponer la mesa para la comida y ayudar en tareas domésticas, chicos que trabajaban por las tardes y hasta parte de la noche para apoyar a la economía familiar. Los conflictos familiares eran igualmente variados y, en algunos casos, muy intensos.

Todo lo anterior se reflejaba en sus escritos. De las actividades desarrolladas en un día regular podía calcularse un promedio de 5 horas de televisión por día. Mientras menos favorecidos económicamente más horas de televisión al día. En la escritura de su autobiografía la falta de lenguaje y de claridad era muy evidente. En el caso más grave que recuerdo el chico se describía en el estilo de las estampitas de los héroes que se venden en las papelerías: “Fulanito de tal. Nació en ____ el día ____. Sus padres fueron ____ y ____.”

Mucho tiempo después, a través del análisis de mi propia experiencia como estudiante a lo largo de los años, de las de mis estudiantes en todos los niveles y de la de mi hijo, cuando comenzó a mostrar sus habilidades, comprendí que la adquisición temprana de un lenguaje suficiente y claro era lo que estaba en la base de la comprensión en matemáticas y cualquier otra área de estudio, en cualquier nivel. Adicionalmente, la lectura de los trabajos que encuentran relaciones de causa-efecto entre lenguaje materno y matemáticas, o los trabajos sobre la adquisición del lenguaje y la lectura de Emilia Ferreiro confirmaron mi hipótesis.

En aquel momento, y después de revisar y analizar las producciones de los chicos, lo primero que hice fue dedicar una semana por grupo (4 horas) a construir un lenguaje que nos permitiera comunicarnos sin muchos tropiezos y a crear un ambiente de confianza para que pudieran expresar sus dudas sin temor. Por mi parte, comencé a ver las series de televisión que habían mencionado en sus escritos para poder crear metáforas que les hicieran sentido.

Entonces vino la parte del lenguaje matemático: máximo común divisor significa “el mayor de los divisores comunes a dos números enteros dados”, y cada palabra tiene significado preciso. Común no significa vulgar, por ejemplo; significa que es algo que corresponde a dos o más sujetos. Batman y Robin tienen en común que aparecen en la misma serie de caricaturas (en la época); todos ustedes tienen en común que están en este grupo; etc.

Lo que puedo testimoniar es que, aunque parece un proceso lento, esta manera de trabajar permite luego avanzar con velocidad uniformemente acelerada porque se va construyendo cada concepto, cada proceso, sobre cimientos sólidos.

El proceso anterior es algo que he repetido con cada uno de los grupos, de cualquier nivel, al inicio de un curso. Establecemos reglas de convivencia que nos permitan trabajar en un ambiente de confianza y respeto, además.

Por otro lado, en lo que concierne a los contenidos de los cursos, lo que encuentro muy necesario es tomar en cuenta el pasado académico del estudiante (del grupo y de las individualidades más notables) para construir un puente que les permita llegar al punto de inicio del curso. En las condiciones actuales, tomando como punto de partida los lamentables programas educativos de todos los niveles, es prácticamente imposible esperar que un chico que se inicia en el álgebra pueda tener éxito sin un antecedente numérico.

Hay que tomar en cuenta que el conocimiento pitagórico sobre los números (Libro II de los Elementos de Euclides) se sitúa hacia los siglos V y VI antes de Cristo, mientras que el álgebra desarrollada por Al-Jwarizmi data del siglo IX después de nuestra era y el desarrollo del álgebra muy en la forma en que pretendemos que la aprendan los alumnos en el bachillerato se desarrolló en Europa, en Italia y Francia notablemente, a partir del siglo XV.

El desarrollo de la pura noción de numero negativo tiene una duración de alrededor de quince siglos, de acuerdo al análisis de Georges Glaeser en La epistemología de los números relativos[1]: “desde la época de Diofanto hasta nuestros días” dice. Porque una cosa es manipular los números (así sea con precisión, como ocurría con los matemáticos incluso notables) y otra cosa es comprender absolutamente el concepto.

Glaeser comenta que “Numerosos son los maestros que no sospechan que el aprendizaje de las reglas de los signos puede comportar dificultades.” Y suponen que es un problema del alumno. Incluso, dice: “Hans Freudenthal (uno de los matemáticos y educadores en matemáticas que más han contribuido a establecer las dificultades en el aprendizaje de esta materia, consignado en su obra clásica Mathematics as an Educational Task[2] y fundador de la revista especializada Educational Studies in Mathematics[3]) consagra 160 páginas del libro a examinar muchas de las dificultades que conlleva el aprendizaje de los números, y sin embargo apenas menciona la regla de los signos.”
“Uno se explica fácilmente este olvido sorprendente. En la época en la que él escribía esta obra, Freudenthal escogía los temas de sus análisis didácticos de entre sus recuerdos personales. Ahora bien, ningún matemático de su generación (ni de las nuestras) guarda recuerdo alguno de haber sido turbado por la regla de los signos.”

Sin embargo, Piaget (muy sensible a las observaciones que hace sobre los niños), consagra varias páginas de su obra Introduction à l’épistémologie génétique [4] a las dificultades provocadas por los números negativos.

Las señales de las dificultades que han enfrentado los estudiantes con esta noción se encuentra, entre otros casos, en la autobiografía de Stendhal, La vida de Henry Brulard. La parte donde hace referencia a estas dificultades la resumí en una especie de comic:



Es decir: no es tan sencillo como lo hacen parecer los programas educativos que parten del profundo desconocimiento de quienes los redactan. Y los profesores que creemos que lo más importante es terminar un programa, aunque los alumnos no aprendan ni un ápice, no ayudamos en ningún sentido a la formación o el interés por los estudiantes en la materia o en su aplicación para resolver problemas que tengan sentido.

Se trata, pues, de crear las condiciones y los apoyos para que el estudiante comprenda y no para que apruebe un curso sin sentido que solamente sirva para cumplir con indicadores escolares e institucionales. O no nos quejemos de lo que ayudamos a crear.




[1] Glaeser, Georges. Epistémologie des nombres relatifs. Recherches en didactique des mathématiques. Vol 2/3.  La pensée sauvage. 1981. Traducción al español de Marco Antonio Valencia, Fernando Ávila y Blanca M. Parra, publicada por la Sección de Matemática Educativa del CINVESTAV, en 1983.
[2] Freudenthal, Hans. Mathematics as an Educational Task. D. Reidel Publishing Company, Dordretcht-Hollland. 1973.
[3] Educational Studies in Mathematics. An International Journal. Editor-in-Chief: Merrilyn Goos. Springer.
[4] Piaget, Jean. Introduction à l’épistémologie génétique. 1. La pensée mathématique. Presses Universitaires de France. 1973. Pag 110 – 115 : Le nombre négatif et le zéro.

miércoles, 2 de julio de 2014

Sigue la historia de mis alumnos

Me queda claro que tanto la física como las matemáticas que han aprendido son de formulita. No saben analizar un problema ni, mucho menos, plantearlo. Un verano no da para deshacer todos los entuertos, sobre todo si el alumno es pasivo (también parte de su historia escolar) y no quiere arriesgar nada para no parecer "tonto". Solamente una alumna ha modificado esta actitud y los resultados son notables.

La cuestión es que el problema del cálculo del centro de masa siguió siendo difícil, dijeron.
Del libro de Física General de la serie Schaum debían resolver los ejercicios del 21 al 42 del capítulo 8, para un examen rápido, que aplicaría el lunes 30 de junio, para el que yo seleccionaría aleatoriamente uno de los ejercicios mencionados.

Me mandaron mensajes a través de Edmodo el domingo por la noche: que si era posible que antes del examen rápido resolviéramos las dudas. Casi todo eran dudas pero, especialmente, lo de centros de masa.

Sin revisar los problemas pregunté las dudas que habían surgido:
  • cómo determinar la ubicación de la figura en el plano, de manera de simplificar los cálculos
  • cómo determinar las "ecuaciones" de las curvas de la figura
  • cómo determinar los límites de integración para los cálculos

y algunas cosas más.

Fui construyendo el siguiente diagrama, retroalimentado por las preguntas y dudas que iban surgiendo:






Todos quedaron satisfechos con la explicación.
Y entonces fuimos a ver el problema que no habían podido resolver, que resultó ser el 8.31

Es decir que no había nada de cálculo integral. Un simple ejercicio del centroide de un triángulo.

Antes de ver el ejercicio resuelto 8.10 (con las fórmulas) resolvimos el 8.31 trabajando a partir de la solución dada ahí mismo, y hacia atrás. Entonces "les cayó el veinte". Eso tampoco se les ocurre.

Lo que me parece más grave es esa parálisis que no les permite siquiera darse cuenta de lo ya hecho, de lo que tienen en las notas que hayan tomado en clase, etc. Pareciera que en automático la respuesta es "no sé y no voy a intentar comprender".

Mis reportes a las autoridades académicas, en el sentido de que estos alumnos necesitan una reeducación en matemáticas, particularmente, y no más cursos de formularios, recibieron como respuesta un "hay mucho por hacer". ¿Cuándo? ¿Quién?

jueves, 26 de junio de 2014

Una secuencia de clase, en la revisión de un ejercicio de examen

 La secuencia de fotos muestra paso a paso la resolución de un ejercicio de examen en el que los alumnos tuvieron muchas dificultades, y que ninguno concretó. Los garabatos, flechas, enmarcados, cálculos explícitos, etc.  corresponden a explicaciones frente a las dificultades que fueron expresando durante la resolución en el pizarrón. Me parece que no necesita de más explicación.

Los alumnos cursan física por segunda vez, y ya cursaron y aprobaron Cálculo Diferencial e Integral.

En el examen podía utilizar cualquier recurso, y habían aprendido a calcular integrales en Wolfram Alpha.



Que no se les ocurra situar la figura en el plano cartesiano cuando se trata de determinar las coordenadas del punto, es grave.













Un alumno comentó que lo había intentado con "otra" rebanada y no le daba lo mismo. Dije que no haría todo el cálculo de nuevo. Mostré y expliqué lo siguiente:





Con eso terminó la revisión.

Les pedí hacer un diagrama de flujoo con el proceso y aplicarlo en el siguiente ejercicio. Resultado:

1) Los "algoritmos" son suficientemente vagos como para que no sean de utilidad
2) Ecuación y función son equivalentes para ellos
3) En ningún momento se refieren al diferencial de área que se explicita en una de las imágenes
4) No fueron capaces de resolver el ejercicio que se propuso a continuación


Este documento se compartió con la autoridad educativa. Su comentario: "hay mucho por hacer".





miércoles, 8 de febrero de 2012

¿Alberto o la incomprensión en matemáticas?

Hace muchos años leí algunos de los libros de Stella Baruk, particularmente Fabrice ou l'école des mathématiques y Échec et maths, ambos publicados por Seuil. El asunto: la absoluta incomprensión que los chicos exhiben acerca de casi cualquier cosa (las operaciones, los símbolos, etc.) y la indiferencia de la escuela sobre la pérdida del sentido(común) que aqueja a los alumnos, así como los errores pedagógicos que generan esta pérdida. 


Posteriormente, cuando mi hijo cursaba el primer año de primaria, pude observar cómo se destruye el sentido común. Un problema propuesto por la profesora establecía que un carpintero tenía 20 clavos y 15 clavitos, digamos (las cifras sí no las recuerdo), durante su trabajo perdía 8 clavos. Pregunta: ¿cuántos clavos le quedan? 


Era uno de los tres problemas que contenía un examen. Lo que me hizo buscar a la maestra fue la aglomeración de los padres de familia ante el resultado del examen: en el mejor de los casos cada alumno había resuelto uno de los tres problemas a satisfacción de la maestra, y todos estaban reprobados. Hablé con ella y le expliqué lo que yo creía que era la clave de la incomprensión (de ella, evidentemente)había hecho la distinción entre clavos y clavitos, inicialmente, y posteriormente esperaba que los niños juntaran todo en la categoría "clavos". 


A través de las tareas asignadas vi cómo "resolvió" su problema de redacción. Por ejemplo, proponía cosas del estilo (en esténcil, claro):
      
                  
      Había              36                      pero                        25


¿Quedan?_____________ 


Cuando vi a Pako respondiendo este tipo de situaciones de acuerdo con las claves (quedan, total, etc.), le pregunté qué significaba la respuesta respecto a algo como lo siguiente :


      y       
                         13                                                                    5

¿Total? _____________________


Pako había anotado 18, como total. La pregunta era qué significaba. Me contestó: pues mira, yo creo que le tiras pelotazos a las estrellas. Afortunadamente para mi hijo el entorno se encargó de proporcionarle las herramientas de razonamiento adecuadas. 


Ahora me pidieron trabajar con Alberto, un alumno de primero de secundaria. Su madre me solicita de vez en cuando, sin regularidad alguna, que trabaje con el joven para ayudarlo a entender lo que ocurre en su clase de matemáticas y que tenga mejores resultados en los exámenes. Diferentes situaciones concurren para dificultar este trabajo:
  • Alberto no sabe qué temas han cubierto en su curso ni tiene cuadernos, libros, temarios, y ni siquiera algo con qué escribir a su alcance (en su casa)
  • No tiene interés alguno en aprender y su respuesta inicial a cualquier cosa que le pregunte consiste en alzar los hombros y decir no sé
  • No desayuna, y come cualquier cosa durante el día(respuesta a mi pregunta ante su evidente falta de energía)
  • No hace ejercicio, de manera regular
  • No tiene hábitos de estudio y su concentración dura unos 20 minutos escasos
Y están todos los problemas de incomprensión que se quieran. Por ejemplo, le propongo el problema de las gallinas y los conejos:


En una granja hay gallinas y conejos, si cuento las cabezas de los animales hay 22 pero si cuento las patas hay 56. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja?


Su primera respuesta (después de repetidos no sé) es sumar 22 y 56. Es necesario hacerlo que diga en voz alta qué significa cada número y cuestionarlo sobre si se pueden sumar patas y cabezas y cuál sería el sentido de la suma. Le sugiero elaborar dibujos, gráficos o tablas, pero no encuentro respuesta.


Le planteo el mismo problema pero ahora con solamente 9 cabezas y 24 patas e insisto sobre el apoyo con gráficos o tablas. Decide dibujar 9 bolas (las cabezas) y por tanteos va juntando la cantidad de patas requeridas. Finalmente tiene la respuesta.


Le pongo un problema equivalente: 


En una bolsa hay monedas de 5 centavos y de 10 centavos. Son 8 monedas y hacen un total de 70 centavos. 


Esta vez no intenta sumar los números. Directamente dibuja 8 bolas y de nuevo recurre al tanteo para encontrar que tienen que ser 2 monedas de 5 centavos y 6 monedas de 10 centavos. Le propongo que verifique: (5 x 2) + (10 x 6). El primer cálculo se convierte en  5 x 5. 


Resolvemos las dudas aritméticas y el problema y continuamos con problemas semejantes incrementando los números para obligarlo a generar una estrategia.  Pero cada nueva situación destapa problemas aritméticos serios: no sabe dividir, la multiplicación no la ve como recurso (hace sumas!) y cuando la plantea se equivoca, y así casi indefinidamente.  


Por otra parte, después de escasa media hora  hace cualquier cosa para mostrar que está harto : cierra los ojos, bosteza, etc. 


La mamá me pide que regrese el viernes y que para entonces ya tendrá el temario, el cuaderno y el libro. 


¿Cuántos niños en primero de secundaria tendrán las dificultades que presenta Alberto? ¿Qué hacen los maestros para lidiar con esto?