Recuento de mi estancia en Monterrey, acudiendo al 52 Congreso Nacional de la SMM

La experiencia completa en la ciudad, desde mi llegada y hasta mi regreso a León, Guanajuato, está narrada en mi otro blog bajo el título Comptes rendus. De todo, incluyendo experiencias y fotos del taller que impartí.

De esa publicación retomo, y pongo enseguida, el enlace (varios documentos) al libro Matemáticas 100 horas (para estudiantes de primer grado de secundaria) el cual diseñamos, redactamos, imprimimos, fotocopiamos, compaginamos, armamos, pusimos a prueba y corregimos antes de llegar a esta versión, entre 1975 y 1977. Las gracias reiteradas para Dulce Karina Rodríguez, quien se dio a la tarea de rescatar ese documento, poniéndolo en formato PDF, hace unos 10 años.

Si los materiales y las experiencias compartidas les son de utilidad, se habrá logrado el objetivo.

Como siempre, sus comentarios son bienvenidos.

Antecedentes y consecuentes de la factorización de expresiones algebraicas

A través del Dr. César Cristóbal Escalante fui invitada a presentar un curso a profesores de matemáticas de bachillerato, en el marco del XLIX Congreso de la Sociedad Matemática Mexicana (SMM), el 28 de octubre pasado, en la Universidad Autónoma de Aguascalientes.

Mi compromiso con los participantes fue poner a su disposición todos los materiales utilizados, en una entrada de este blog.  Es lo que encontrarán a continuación. Todos los enlaces a todos los recursos utilizados están ahí mismo disponibles, anillados uno dentro de otro en ocasiones.

Antecedentes y consecuentes de la factorización de expresiones algebraicas

Presentación

En experiencias con alumnos de bachillerato se detectan problemas que ellos encuentran cuando se trata de factorizar expresiones polinomiales o racionales. Los ejercicios que se les asignan pueden tener como finalidad:

•         La determinación de raíces enteras y/o racionales de un polinomio
•         La simplificación de una fracción algebraica o una suma de fracciones algebraicas

Los problemas, dificultades y frustraciones que los estudiantes encuentran pueden resultar de:

•          El desconocimiento de reglas más o menos universales que les permitan llevar a cabo ese trabajo, en lugar de aprender cada una de las reglas y casos que suelen presentarse en un libro de texto comercial
•          La confusión que surge cuando la expresión a factorizar contiene dos literales
•         Desconocer la relación entre las raíces de un polinomio y los factores lineales en su factorización
•         La falta de antecedentes explícitos que les permitan recuperar estrategias en la operación con expresiones polinomiales y racionales
•        Encontrarse con un caso en que la factorización no se da en los enteros y desconocer las otras posibilidades para determinar raíces racionales o, peor, aproximar raíces irracionales
•         Desconocer aplicaciones que le permitan verificar por su cuenta, de manera independiente, si ha resuelto un ejercicio correctamente antes de entregar una tarea mal hecha y de tratar de entender los errores cometidos de manera independiente

En este curso/taller hay dos propósitos principales:

1.  Responder a la pregunta de por qué es necesario aprender a factorizar expresiones polinomiales y aplicar ese aprendizaje para resolver los ejercicios que se les asignan
2.  Proporcionar elementos que permitan al profesor y al alumno recuperar las principales ideas y estrategias involucradas en la factorización de expresiones polinomiales tomando en cuenta la estructura del anillo de polinomios y su isomorfismo con el anillo de enteros.

De paso, vislumbrar estrategias de factorización y de control del proceso, por el mismo alumno, que permitan aligerar la carga de memorización que suele requerir un curso tradicional de álgebra intermedia.

Programa de actividades del curso/taller

I.              Primeras preguntas (a responder una en cada uno de los equipos previamente formados):

1.     ¿Cuál es la importancia de la factorización de polinomios desde el primer curso de algebra al que los alumnos son introducidos?

2.     ¿Cuál es la importancia de factorizar siguiendo los procedimientos tradicionales contemplados en los libros de texto?

3.     ¿Cuál es la importancia de factorizar en el futuro académico de los estudiantes?

4.     ¿Cuál es la importancia de todos esos procesos y aprendizajes en el futuro de cualquier persona que cursa un bachillerato?

Tiempo: 15 minutos

Recuperación de la experiencia en voz de los representantes de los equipos: Tiempo 10 minutos

En síntesis, las aportaciones de los participantes apuntan a la necesidad de aprender a factorizar para/por:

• š  Resolver ecuaciones
• š  Porque es parte del programa de estudios
• š  Es similar a un juego de abalorios

II.             Ejercicios de factorización tomados del libro de Uspensky, Theory of Equations (uno diferente para cada equipo, seleccionado de manera aleatoria de entre los propuestos)

 Tiempo: 5 minutos

Ejercicios y comentarios 

Los participantes trabajando sobre los ejercicios propuestos

III.            Presentaciones, en el orden en que se discutieron con los participantes:

a.     El lenguaje formal para brindar un acercamiento a la factorización de polinomios partiendo de un conocimiento suficiente de la factorización de enteros. No se trata de perderse en el lenguaje formal ni mucho menos de proponerlo a los estudiantes, sino de aprovechar el comportamiento idéntico de las estructuras de enteros y polinomios, con las operaciones de suma y producto usuales en cada uno, para dar al estudiante herramientas de comprensión y de desarrollo de habilidades en la factorización de polinomios

b.     Algunas opiniones sobre la importancia de la factorización y sus aplicaciones para conocer puntos de vista y ejemplos previamente discutidos por matemáticos y educadores sobre esta problemática generalizada

c.     Factorización de polinomios y educación matemática donde discutimos e integramos el trabajo de la sesión hasta este momento y las reflexiones y experiencias de los participantes.

               Tiempo: 35 minutos

IV.           Cierre: a la luz de todo lo anterior, ¿Qué es lo que el alumno debe saber sobre factorización y para qué? ¿Qué estrategias emplean? ¿Qué funciona?

Las preguntas se respondieron a lo largo de las dos horas de trabajo intenso.

Al terminar: las fotos con los amigos queridos, el diploma y los regalos:

César Cristóbal, una servidora, Elías Loyola, Ana Lilia Rodríguez

Regalos

comprobante ;)

Agradezco a todos los que hicieron que esto fuera posible por su apoyo y por su participación.

Sigue la historia de mis alumnos

Me queda claro que tanto la física como las matemáticas que han aprendido son de formulita. No saben analizar un problema ni, mucho menos, plantearlo. Un verano no da para deshacer todos los entuertos, sobre todo si el alumno es pasivo (también parte de su historia escolar) y no quiere arriesgar nada para no parecer "tonto". Solamente una alumna ha modificado esta actitud y los resultados son notables.

La cuestión es que el problema del cálculo del centro de masa siguió siendo difícil, dijeron.
Del libro de Física General de la serie Schaum debían resolver los ejercicios del 21 al 42 del capítulo 8, para un examen rápido, que aplicaría el lunes 30 de junio, para el que yo seleccionaría aleatoriamente uno de los ejercicios mencionados.

Me mandaron mensajes a través de Edmodo el domingo por la noche: que si era posible que antes del examen rápido resolviéramos las dudas. Casi todo eran dudas pero, especialmente, lo de centros de masa.

Sin revisar los problemas pregunté las dudas que habían surgido:

• cómo determinar la ubicación de la figura en el plano, de manera de simplificar los cálculos
• cómo determinar las "ecuaciones" de las curvas de la figura
• cómo determinar los límites de integración para los cálculos

y algunas cosas más.

Fui construyendo el siguiente diagrama, retroalimentado por las preguntas y dudas que iban surgiendo:

Todos quedaron satisfechos con la explicación.

Y entonces fuimos a ver el problema que no habían podido resolver, que resultó ser el 8.31

Es decir que no había nada de cálculo integral. Un simple ejercicio del centroide de un triángulo.

Antes de ver el ejercicio resuelto 8.10 (con las fórmulas) resolvimos el 8.31 trabajando a partir de la solución dada ahí mismo, y hacia atrás. Entonces "les cayó el veinte". Eso tampoco se les ocurre.

Lo que me parece más grave es esa parálisis que no les permite siquiera darse cuenta de lo ya hecho, de lo que tienen en las notas que hayan tomado en clase, etc. Pareciera que en automático la respuesta es "no sé y no voy a intentar comprender".

Mis reportes a las autoridades académicas, en el sentido de que estos alumnos necesitan una reeducación en matemáticas, particularmente, y no más cursos de formularios, recibieron como respuesta un "hay mucho por hacer". ¿Cuándo? ¿Quién?

Una secuencia de clase, en la revisión de un ejercicio de examen

 La secuencia de fotos muestra paso a paso la resolución de un ejercicio de examen en el que los alumnos tuvieron muchas dificultades, y que ninguno concretó. Los garabatos, flechas, enmarcados, cálculos explícitos, etc.  corresponden a explicaciones frente a las dificultades que fueron expresando durante la resolución en el pizarrón. Me parece que no necesita de más explicación.

Los alumnos cursan física por segunda vez, y ya cursaron y aprobaron Cálculo Diferencial e Integral.

En el examen podía utilizar cualquier recurso, y habían aprendido a calcular integrales en Wolfram Alpha.

Que no se les ocurra situar la figura en el plano cartesiano cuando se trata de determinar las coordenadas del punto, es grave.

Un alumno comentó que lo había intentado con "otra" rebanada y no le daba lo mismo. Dije que no haría todo el cálculo de nuevo. Mostré y expliqué lo siguiente:

Con eso terminó la revisión.

Les pedí hacer un diagrama de flujoo con el proceso y aplicarlo en el siguiente ejercicio. Resultado:

1) Los "algoritmos" son suficientemente vagos como para que no sean de utilidad
2) Ecuación y función son equivalentes para ellos
3) En ningún momento se refieren al diferencial de área que se explicita en una de las imágenes
4) No fueron capaces de resolver el ejercicio que se propuso a continuación


Este documento se compartió con la autoridad educativa. Su comentario: "hay mucho por hacer".

Un semestre por demás interesante

Diez semanas han transcurrido desde que iniciaron los cursos en la universidad. Tres grupos con prácticamente el mismo programa, extensísimo. El núcleo se compone de

• Algebra superior (de números reales y desigualdades a los teoremas del Factor y Fundamental del Algebra)
• Trigonometría plana, incluyendo el trabajo con identidades
• Geometría analítica 
• Funciones y sus gráficas (algebraicas y trascendentes tempranas)
• Y las aplicaciones de todo ello

Ese nucleo compone el curso de Prerrequisitos B (curso largo), para alumnos de ingenierías (excepto Bionanotecnología) que no tiene créditos, se califica como Acreditado o No acreditado, y está programado en cuatro sesiones de dos horas por semana.

También es el curso para los alumnos de Bionanotecnología, que si es materia currricular y que está programado en dos sesiones de dos horas por semana.

Para los alumnos de Arquitectura se incluyen, además, Sistemas de ecuaciones lineales y métodos matriciales, y Cálculo diferencial e integral. El curso es curricular y está programado en dos sesiones de dos horas a la semana.

A pesar de que es prácticamente el mismo curso, el rendimiento es muy distinto. Sorprendentemente tienen mejor desempeño los alumnos de los cursos con menos horas de clase a la semana.  Una de las razones, especulo, es el hecho de que para los alumnos de Prerrequisitos B el curso no aparecerá en su kardex. Y de que, independientemente de si el desempeño es apenas suficiente o extraordinario, la nota que verán en sus certificados será la misma: Acreditado. 

En este grupo de Prerrequisitos B, la mayor parte son alumnos que llegan a la universidad asumiendo las mismas actitudes que en el bachillerato (a pesar de que vienen de diferentes bachilleratos): es un asunto de enseñanza pero no de aprendizaje (el maestro que recite y yo copio) y no están dispuestos a participar de las actividades de la clase. Todavía a estas alturas, cuando quedan escasas seis semanas para terminar el curso, muchos de ellos no traen a la clase los materiales necesarios para trabajar y el 70% del grupo no ha ingresado a Edmodo (donde se registran las actividades del curso) para enterarse de lo que se ha desarrollado, las tareas y otras actividades. Suponen que el acceso a Wikipedia los salva de las tareas en clase y fuera de ella. Algunos asisten de manera irregular, otros se duermen en clase (no desayunan, por ejemplo). 

De los que participan activamente hay dos tipos: el entusiasta que, a pesar de las repetidas fallas, sigue tratando de aplicar "reglas de tres" para cualquier cosa; y el chico que siente ser más listo que los demás, que se resiste a que el resto del grupo lo vea "arrastrando el lápiz" y trata de hacer todos los razonamientos y cálculos en su cabeza, sin lograrlo la mayoría de las veces.

En todo eso veo mucho de las prácticas a las que los maestros los han acostumbrado en los ciclos anteriores. Y una enorme resistencia a abandonar aquellas que tal vez funcionaron bien en cursos muy tradicionales. 

En los otros dos grupos han ocurrido algunos desacuerdos, especialemente al inicio del curso. 

En el grupo de Bionanotecnología, algunos alumnos tenían actitudes de rigidez extrema: "no queremos que hable de experiencias que ocurran fuera del grupo o reflexiones personales" dijo una alumna; "no me gustan los cursos en línea" dijo un alumno (y no entendí a qué se refería cuando hice la encuesta anónima para sondear el ambiente de la clase). Otros alumnos se resistieron al apoyo extraclase, aun cuando se habían ya reconocido las dificultades que experimentarían en un curso tan denso. 

El asunto de "cursos en línea" se aclaró en una explosión del alumno dentro de la clase: no le gusta tener que recurrir a Edmodo para revisar lo que se ha hecho, los ejercicios adicionales que se proponen o los materiales de apoyo o de interés para el grupo.

Y sin embargo, en la sesión de Evaluación Intermedia que tuvimos hoy, el mismo alumno agradeció los cambios que se han hecho (o sea ninguno) sin darse cuenta de que lo que ha cambiado es él mismo, su acercamiento al aprendizaje y la construcción de lenguaje y de habilidades que ha llevado a cabo. Por supuesto que el más sorprendido era él cuando el mismo grupo se lo hizo reconocer. Por otro lado, la niña que no quería hablar de temas fuera de la clase, propició una sesión completa para discutir sobre lo que significa madurar e independizarse de "las marcas" (la mercadotecnia) y las opiniones de los demás y construir su propia personalidad.

El grupo de Arquitectura ha sido el más tranquilo y el menos "cuadrado". Una vez que habíamos construido la ecuación ordinaria de la circunferencia se les pidió hacer un dibujo creativo en Desmos utilizando rectas y circunferencias, como tarea. Las preguntas (vía Edmodo) comenzaron a llegar: "¿podemos usar otro tipo de curvas?". No solamente aprendieron a graficar otras curvas y a establecer las ecuaciones ordinarias correspondientes (viendo la galería de dibujos en Desmos o los videos en el canal de Desmos en You Tube) sino que, además, aprendieron a colorear utilizando desigualdades y a limitar dominios y rangos. Por supuesto que eso aligeró en mucho la carga del curso. y ese ha sido más o menos el tenor. El único descontento: que la clase sea a las 7 A.M. y que solamente haya 10 minutos de tolerancia.

Así que nos quedan seis semanas de cursos. El grupo que me preocupa es el de Prerrequisitos. Veremos cuántos están dispuestos a despegar.