Antecedentes y consecuentes de la factorización de expresiones algebraicas

A través del Dr. César Cristóbal Escalante fui invitada a presentar un curso a profesores de matemáticas de bachillerato, en el marco del XLIX Congreso de la Sociedad Matemática Mexicana (SMM), el 28 de octubre pasado, en la Universidad Autónoma de Aguascalientes.

Mi compromiso con los participantes fue poner a su disposición todos los materiales utilizados, en una entrada de este blog.  Es lo que encontrarán a continuación. Todos los enlaces a todos los recursos utilizados están ahí mismo disponibles, anillados uno dentro de otro en ocasiones.

Antecedentes y consecuentes de la factorización de expresiones algebraicas

Presentación

En experiencias con alumnos de bachillerato se detectan problemas que ellos encuentran cuando se trata de factorizar expresiones polinomiales o racionales. Los ejercicios que se les asignan pueden tener como finalidad:

•         La determinación de raíces enteras y/o racionales de un polinomio
•         La simplificación de una fracción algebraica o una suma de fracciones algebraicas

Los problemas, dificultades y frustraciones que los estudiantes encuentran pueden resultar de:

•          El desconocimiento de reglas más o menos universales que les permitan llevar a cabo ese trabajo, en lugar de aprender cada una de las reglas y casos que suelen presentarse en un libro de texto comercial
•          La confusión que surge cuando la expresión a factorizar contiene dos literales
•         Desconocer la relación entre las raíces de un polinomio y los factores lineales en su factorización
•         La falta de antecedentes explícitos que les permitan recuperar estrategias en la operación con expresiones polinomiales y racionales
•        Encontrarse con un caso en que la factorización no se da en los enteros y desconocer las otras posibilidades para determinar raíces racionales o, peor, aproximar raíces irracionales
•         Desconocer aplicaciones que le permitan verificar por su cuenta, de manera independiente, si ha resuelto un ejercicio correctamente antes de entregar una tarea mal hecha y de tratar de entender los errores cometidos de manera independiente

En este curso/taller hay dos propósitos principales:

1.  Responder a la pregunta de por qué es necesario aprender a factorizar expresiones polinomiales y aplicar ese aprendizaje para resolver los ejercicios que se les asignan
2.  Proporcionar elementos que permitan al profesor y al alumno recuperar las principales ideas y estrategias involucradas en la factorización de expresiones polinomiales tomando en cuenta la estructura del anillo de polinomios y su isomorfismo con el anillo de enteros.

De paso, vislumbrar estrategias de factorización y de control del proceso, por el mismo alumno, que permitan aligerar la carga de memorización que suele requerir un curso tradicional de álgebra intermedia.

Programa de actividades del curso/taller

I.              Primeras preguntas (a responder una en cada uno de los equipos previamente formados):

1.     ¿Cuál es la importancia de la factorización de polinomios desde el primer curso de algebra al que los alumnos son introducidos?

2.     ¿Cuál es la importancia de factorizar siguiendo los procedimientos tradicionales contemplados en los libros de texto?

3.     ¿Cuál es la importancia de factorizar en el futuro académico de los estudiantes?

4.     ¿Cuál es la importancia de todos esos procesos y aprendizajes en el futuro de cualquier persona que cursa un bachillerato?

Tiempo: 15 minutos

Recuperación de la experiencia en voz de los representantes de los equipos: Tiempo 10 minutos

En síntesis, las aportaciones de los participantes apuntan a la necesidad de aprender a factorizar para/por:

• š  Resolver ecuaciones
• š  Porque es parte del programa de estudios
• š  Es similar a un juego de abalorios

II.             Ejercicios de factorización tomados del libro de Uspensky, Theory of Equations (uno diferente para cada equipo, seleccionado de manera aleatoria de entre los propuestos)

 Tiempo: 5 minutos

Ejercicios y comentarios 

Los participantes trabajando sobre los ejercicios propuestos

III.            Presentaciones, en el orden en que se discutieron con los participantes:

a.     El lenguaje formal para brindar un acercamiento a la factorización de polinomios partiendo de un conocimiento suficiente de la factorización de enteros. No se trata de perderse en el lenguaje formal ni mucho menos de proponerlo a los estudiantes, sino de aprovechar el comportamiento idéntico de las estructuras de enteros y polinomios, con las operaciones de suma y producto usuales en cada uno, para dar al estudiante herramientas de comprensión y de desarrollo de habilidades en la factorización de polinomios

b.     Algunas opiniones sobre la importancia de la factorización y sus aplicaciones para conocer puntos de vista y ejemplos previamente discutidos por matemáticos y educadores sobre esta problemática generalizada

c.     Factorización de polinomios y educación matemática donde discutimos e integramos el trabajo de la sesión hasta este momento y las reflexiones y experiencias de los participantes.

               Tiempo: 35 minutos

IV.           Cierre: a la luz de todo lo anterior, ¿Qué es lo que el alumno debe saber sobre factorización y para qué? ¿Qué estrategias emplean? ¿Qué funciona?

Las preguntas se respondieron a lo largo de las dos horas de trabajo intenso.

Al terminar: las fotos con los amigos queridos, el diploma y los regalos:

César Cristóbal, una servidora, Elías Loyola, Ana Lilia Rodríguez

Regalos

comprobante ;)

Agradezco a todos los que hicieron que esto fuera posible por su apoyo y por su participación.

Mi experiencia frente a las dificultades de los estudiantes Apuntes para un taller

 Cuando comencé a trabajar como docente de matemáticas, cinco grupos de primer grado en una secundaria técnica en la ciudad de México, sin preparación previa para desempeñarme como maestra ni interés manifiesto por semejante actividad, recuerdo (y lo he escrito muchas veces en blogs y  artículos sobre la docencia) que mi primera sorpresa no fue por las carencias en matemáticas que mostraban los chicos (mínimas comparadas con lo que constato ahora incluso en las universidades privadas más prestigiosas del país) sino por la incomprensión del lenguaje que supuestamente deben ser capaces de manejar. Por supuesto, las primeras manifestaciones se dieron respecto al lenguaje utilizado en matemáticas el cual, según yo, debieran conocer.

Para mí era incomprensible que los chicos no entendieran lo que significaba “máximo común divisor” por ejemplo, puesto que en ese título está contenida la definición. Me llevó un par de semanas y unos cuantos experimentos darme cuenta de que:

1. La enseñanza por la que habían pasado los hizo memorizar nombres como etiquetas, desligados de cualquier significado
2. Los algoritmos relacionados con esas etiquetas estaban vacíos porque nunca se construyó significado para ellos
3. El problema de lenguaje no era solamente en lo referente a matemáticas

En la época, 1972, yo todavía era estudiante de licenciatura y nunca había tenido dificultades para comprender un texto. Sin más evidencia que lo que observaba con los chicos de los cinco grupos, hice mi primer par de estudios totalmente empíricos. Como tareas les pedí:

• Que escribieran lo que era un día regular, entre semana, desde que despertaban hasta que se dormían
• Que escribieran su biografía 

La composición de los grupos era heterogénea: chicos cuyos padres eran ingenieros en el Instituto Mexicano del Petróleo (situado justo frente a la escuela) y chicos hijos de campesinos que venían desde las pirámides (Teotihuacán), por ejemplo; chicos que tomaban cursos de idiomas o de música o de danza o de karate por las tardes, chicos cuyos padres (ambos) trabajaban y entonces debían llegar a sus casas a ocuparse de disponer la mesa para la comida y ayudar en tareas domésticas, chicos que trabajaban por las tardes y hasta parte de la noche para apoyar a la economía familiar. Los conflictos familiares eran igualmente variados y, en algunos casos, muy intensos.

Todo lo anterior se reflejaba en sus escritos. De las actividades desarrolladas en un día regular podía calcularse un promedio de 5 horas de televisión por día. Mientras menos favorecidos económicamente más horas de televisión al día. En la escritura de su autobiografía la falta de lenguaje y de claridad era muy evidente. En el caso más grave que recuerdo el chico se describía en el estilo de las estampitas de los héroes que se venden en las papelerías: “Fulanito de tal. Nació en ____ el día ____. Sus padres fueron ____ y ____.”

Mucho tiempo después, a través del análisis de mi propia experiencia como estudiante a lo largo de los años, de las de mis estudiantes en todos los niveles y de la de mi hijo, cuando comenzó a mostrar sus habilidades, comprendí que la adquisición temprana de un lenguaje suficiente y claro era lo que estaba en la base de la comprensión en matemáticas y cualquier otra área de estudio, en cualquier nivel. Adicionalmente, la lectura de los trabajos que encuentran relaciones de causa-efecto entre lenguaje materno y matemáticas, o los trabajos sobre la adquisición del lenguaje y la lectura de Emilia Ferreiro confirmaron mi hipótesis.

En aquel momento, y después de revisar y analizar las producciones de los chicos, lo primero que hice fue dedicar una semana por grupo (4 horas) a construir un lenguaje que nos permitiera comunicarnos sin muchos tropiezos y a crear un ambiente de confianza para que pudieran expresar sus dudas sin temor. Por mi parte, comencé a ver las series de televisión que habían mencionado en sus escritos para poder crear metáforas que les hicieran sentido.

Entonces vino la parte del lenguaje matemático: máximo común divisor significa “el mayor de los divisores comunes a dos números enteros dados”, y cada palabra tiene significado preciso. Común no significa vulgar, por ejemplo; significa que es algo que corresponde a dos o más sujetos. Batman y Robin tienen en común que aparecen en la misma serie de caricaturas (en la época); todos ustedes tienen en común que están en este grupo; etc.

Lo que puedo testimoniar es que, aunque parece un proceso lento, esta manera de trabajar permite luego avanzar con velocidad uniformemente acelerada porque se va construyendo cada concepto, cada proceso, sobre cimientos sólidos.

El proceso anterior es algo que he repetido con cada uno de los grupos, de cualquier nivel, al inicio de un curso. Establecemos reglas de convivencia que nos permitan trabajar en un ambiente de confianza y respeto, además.

Por otro lado, en lo que concierne a los contenidos de los cursos, lo que encuentro muy necesario es tomar en cuenta el pasado académico del estudiante (del grupo y de las individualidades más notables) para construir un puente que les permita llegar al punto de inicio del curso. En las condiciones actuales, tomando como punto de partida los lamentables programas educativos de todos los niveles, es prácticamente imposible esperar que un chico que se inicia en el álgebra pueda tener éxito sin un antecedente numérico.

Hay que tomar en cuenta que el conocimiento pitagórico sobre los números (Libro II de los Elementos de Euclides) se sitúa hacia los siglos V y VI antes de Cristo, mientras que el álgebra desarrollada por Al-Jwarizmi data del siglo IX después de nuestra era y el desarrollo del álgebra muy en la forma en que pretendemos que la aprendan los alumnos en el bachillerato se desarrolló en Europa, en Italia y Francia notablemente, a partir del siglo XV.

El desarrollo de la pura noción de numero negativo tiene una duración de alrededor de quince siglos, de acuerdo al análisis de Georges Glaeser en La epistemología de los números relativos[1]: “desde la época de Diofanto hasta nuestros días” dice. Porque una cosa es manipular los números (así sea con precisión, como ocurría con los matemáticos incluso notables) y otra cosa es comprender absolutamente el concepto.

Glaeser comenta que “Numerosos son los maestros que no sospechan que el aprendizaje de las reglas de los signos puede comportar dificultades.” Y suponen que es un problema del alumno. Incluso, dice: “Hans Freudenthal (uno de los matemáticos y educadores en matemáticas que más han contribuido a establecer las dificultades en el aprendizaje de esta materia, consignado en su obra clásica Mathematics as an Educational Task[2] y fundador de la revista especializada Educational Studies in Mathematics[3]) consagra 160 páginas del libro a examinar muchas de las dificultades que conlleva el aprendizaje de los números, y sin embargo apenas menciona la regla de los signos.”

“Uno se explica fácilmente este olvido sorprendente. En la época en la que él escribía esta obra, Freudenthal escogía los temas de sus análisis didácticos de entre sus recuerdos personales. Ahora bien, ningún matemático de su generación (ni de las nuestras) guarda recuerdo alguno de haber sido turbado por la regla de los signos.”

Sin embargo, Piaget (muy sensible a las observaciones que hace sobre los niños), consagra varias páginas de su obra Introduction à l’épistémologie génétique [4] a las dificultades provocadas por los números negativos.

Las señales de las dificultades que han enfrentado los estudiantes con esta noción se encuentra, entre otros casos, en la autobiografía de Stendhal, La vida de Henry Brulard. La parte donde hace referencia a estas dificultades la resumí en una especie de comic:

Es decir: no es tan sencillo como lo hacen parecer los programas educativos que parten del profundo desconocimiento de quienes los redactan. Y los profesores que creemos que lo más importante es terminar un programa, aunque los alumnos no aprendan ni un ápice, no ayudamos en ningún sentido a la formación o el interés por los estudiantes en la materia o en su aplicación para resolver problemas que tengan sentido.

Se trata, pues, de crear las condiciones y los apoyos para que el estudiante comprenda y no para que apruebe un curso sin sentido que solamente sirva para cumplir con indicadores escolares e institucionales. O no nos quejemos de lo que ayudamos a crear.

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[1] Glaeser, Georges. Epistémologie des nombres relatifs. Recherches en didactique des mathématiques. Vol 2/3.  La pensée sauvage. 1981. Traducción al español de Marco Antonio Valencia, Fernando Ávila y Blanca M. Parra, publicada por la Sección de Matemática Educativa del CINVESTAV, en 1983.

[2] Freudenthal, Hans. Mathematics as an Educational Task. D. Reidel Publishing Company, Dordretcht-Hollland. 1973.

[3] Educational Studies in Mathematics. An International Journal. Editor-in-Chief: Merrilyn Goos. Springer.

[4] Piaget, Jean. Introduction à l’épistémologie génétique. 1. La pensée mathématique. Presses Universitaires de France. 1973. Pag 110 – 115 : Le nombre négatif et le zéro.

Reinicio en el CIPEC

El sábado 1 de octubre retomé las actividades con los chicos del CIPEC después de casi dos meses de ausencia. Terminó un ciclo e inició otro; algunos chicos se fueron, pero llegaron nuevos. Y, como siempre, la experiencia fue muy satisfactoria.

Dado que no hay manera de retomar desde el punto anterior se hizo necesario recomenzar, pero sin repetir lo que algunos ya habían visto. Así, volvimos a abrir el cajón de la aritmética encaminada al álgebra elemental. La propuesta: construir el triángulo de Pascal hasta la décima potencia, sin ninguna explicación adicional.

La secuencia de fotos muestra el proceso.

Por razones que no entendí decidieron escribir sobre sus rodillas, a pesar de la invitación a utilizar las mesitas (se organizan según las necesidades) o a trabajar sobre el piso, como lo han hecho en ocasiones anteriores.

Los primeros pasos y la invitación a continuar hasta la potencia 10, con la mención explícita de la potencia 0

Después de ver las producciones de los chicos y de observar los errores cometidos, escribí las líneas siguientes, le puse nombre al objeto y compartí la sugerencia para saber más. Apenas son visibles las líneas que marqué para ayudarlos a visualizar el patrón (una de las fuentes de error más frecuentes en matemáticas es no reconocer los patrones) y organizar su trabajo:

Siguió registrar las observaciones que fueron haciendo mientras construían el triángulo:

Para darle sentido algebraico, a continuación. Comenzamos con una brevísima presentación de Euclides:

Y el álgebra geométrica del libro II de los Elementos

Para establecer el cuadrado del binomio

Y la relación de los coeficientes con los números en el renglón 2 del triángulo de Pascal

Y saltar al cubo del binomio, utilizando meramente los coeficientes dados por el tercer renglón del triángulo

 Y la cuarta potencia 

 Para terminar mostrando un ejemplo de aplicación para calcular cualquier potencia de cualquier binomio, siempre y cuando tengamos en cuenta las reglas de los signos y las de los exponentes.
Y hacer notar uno de los errores más comunes entre los alumnos, cada vez que tienen que calcular el cuadrado de un binomio.

Mañana (sábado 8) continuaremos con este tema en un contexto ligeramente distinto: Probabilidad.

Actividad matemática en el CIPEC

La semana pasada compartí un texto sobre lo que es la actividad matemática , tomado del libro La mistyfication mathématique de Alain Bouvier, que incluye una propuesta de 50 problemas entre abiertos y ya resueltos, sin que conozcamos en cuál de estas categorías está cada uno y, evidentemente, sin soluciones (para los ya resueltos) ni hints.

El libro llegó a mis manos en 1985 mientras estaba en el IREM de la Universidad París 7 Diderot, a punto de presentar mi tesis. Desde entonces lo he utilizado en diferentes ocasiones para tratar de despertar el interés por una verdadera actividad matemática con los estudiantes desde muy temprana edad. La resistencia es enorme porque, fundamentalmente, muy pocos docentes han entrado en este terreno y ante la ausencia de guías externos que les permitan saber si “voy bien o me regreso” se sienten desconcertados y desamparados. Traduzcan eso a lo que hacen en sus cursos: puras cosas previsibles, dependiendo del grado o el momento del ciclo escolar. No vamos a encontrar una ecuación lineal con soluciones negativas si no se han introducido los números negativos y las operaciones con ellos, por ejemplo. Y con enteros, por favor. Dado que nunca estuve sujeta a semejantes cosas, decido que siempre es buen momento para comenzar la exploración.

Hacia 1986-1987, mientras desarrollábamos uno de los primeros cursos de la maestría en Educación Matemática, modalidad semiabierta, en la Universidad de Guadalajara, me tocó hacerme cargo de las sesiones de heurística. El grupo estaba integrado por maestros de matemáticas para ingeniería, maestros de matemáticas de bachillerato y estudiantes de la licenciatura en matemáticas en su último semestre. De los 50 problemas propuestos por Bouvier seleccioné un problema diferente para cada subgrupo.

Me ocuparé del problema 36, propuesto a los estudiantes de último semestre de la licenciatura en matemáticas a quienes daba gusto (OK, no) escuchar hablar de los títulos de sus tesis sobre topología algebraica y menjurjes semejantes con aire docto.

El problema 36 pide encontrar los valores que puede tomar un entero positivo n para que 4^n + n^4 sea un número primo.

Para mi sorpresa, los estudiantes comenzaron a ensayar uno a uno los números del 1 al 17 antes de establecer un hecho que a uno puede parecerle obvio. Y es justo en ese punto donde los chicos del CIPEC mostraron que lo que necesitan son oportunidades.

La sesión en el CIPEC comenzó, como de costumbre, conversando con los que llegan temprano acerca de lo que han experimentado/aprendido/disfrutado/odiado en los días previos de esa semana. Hubo homemade brownies para potenciar el arranque, recordando que debíamos de decidir a quién habría que regalarle el libro de Alicia en el país de las maravillas que Célica Cánovas nos había donado. Después de hacer una semblanza de Lewis Carroll y Alicia y una breve introducción al libro, decidí que sería para quien mostrará razonamiento lógico en sus participaciones de la mañana.

Para entrar en calor les propuse un ejercicio que aparece en un problemario de preparación para un concurso de ¡informática!: ¿cuál es el último dígito de 2013^2013 ?

Es evidente que su calculadora no puede ayudarles. ¿Cómo podrían responder?

“Multiplicamos” dijeron algunos. Inténtenlo, respondí. Pero Paola, la más pequeña de las chicas, dijo que no sabía qué significaba la escritura dada. Me fui al origen, con Diofanto y su dedicatoria de sus libros de Aritmética, explicitado lo que significa x^n para valores de n = 1, 2, 3 y 4.

Resultó que ella no era la única con esa laguna cuando al escribir x^2 algunos dijeron que el valor de x se multiplicaba por 2. No avanzamos hasta que para todos quedó claro que la n se refiere al número de veces que se toma x como factor. Unos 10 minutos.

Regresamos al ejercicio: ¿cuál es el último dígito de 2013^2013? Que cambié por ¿en qué dígito termina 2013^2013? Mucho desconcierto, por supuesto. Propuse que uno siempre puede tratar de entender con un problema más sencillo (Polya dixit) y escribí 23^23, que sigue estando fuera del alcance de las calculadoras. Hice hincapié en que no nos interesa el resultado total sino solamente el dígito que representa las unidades. Hicimos un par de ejercicios para explicitar el algoritmo de la multiplicación paso a paso y notar que las unidades del producto provienen solamente del resultado de multiplicar las unidades de los dos factores en cuestión. Por ejemplo, si multiplicamos 27 por 63 sabemos (debiéramos de) que el producto termina en 1.

Entonces propuse esa actividad a la que el niño de seis años, François Le Lionnais, se entrega en una tarde aburrida de un verano caluroso (hacia 1908).  La historia es importante porque toca una de las quejas de la mañana: “me aburro en mi casa y no me gusta estar aquí”.

Le Lionnais cuenta que en ese estado de aburrimiento comenzó escribiendo los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y pensó, por supuesto, que el último dígito de cualquier otro número es, necesariamente, uno de esos dígitos (Le Lionnais no incluyó al cero, de lo cual se dio cuenta unos años después, pero yo lo hice para los chicos).

Determinó que al multiplicar un número por sí mismo (desconocía, dice, que eso se denominaba "cuadrado del número") el resultado solamente pueden terminar en  0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, correspondiendo a cada uno de los dígitos.

En ese momento tenía las dos líneas siguientes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

0, 1, 4, 9, 6, ,5, 6, 9, 4, 1

Se percató, entre otras cosas, de la simetría en torno al 5, lo cual lo incita a continuar con las terminaciones de los cubos:

0, 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9.  

Un desorden con algunas propiedades. Intrigado, intenta con la cuarta potencia:

0, 1, 6, 1, 6, 5, 6, 1, 6, 1.  

Que es una sorpresa total por su simetría, para comenzar, y porque no son muchos los sobrevivientes, dice.

¿Qué ocurrirá con la quinta potencia? Obtiene

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

En ese momento Paola, la chiquita que no conocía el significado de la potencia, dijo en voz alta: “¡entonces hay que dividir entre 4.”

1. Alicia en el país de las maravillas  encontró a su dueña
2. Le pregunté qué había que dividir entre 4 (en 23^23)

Nos explicó:

23, del exponente, entre 4 da 5 y sobran 3. Así que hay que ir a la tercera fila de las cuatro creadas, y mirar la que corresponde al 3: es 7. 23^23 termina en 7.

No estaba segura de que todos hubieran entendido cabalmente lo que acababa de suceder ni la explicación. Hicimos un par de ejercicios antes de regresar a 2013^2013.

Sí: “hay que dividir entre 4” se entendió dentro del contexto de la sesión, aunque habría que ver más adelante si se produjo conocimiento.

Al dividir 2013 entre 4 tenemos 1 como residuo, lo que significa que nos fijamos en la primera fila, en la columna que corresponde al 3: es 3

Había transcurrido alrededor de una hora desde que iniciamos la sesión, y todavía disponíamos de unos 30 minutos. Propuse el ejercicio 36 de la lista de Bouvier:

encontrar los valores que puede tomar un entero positivo n para que 4^n + n^4 sea un número primo.

“No me acuerdo cuáles son los números primos”, se escuchó. Escribí la definición en una esquina del pizarrón y la lista de los primos menores que 50. Hicimos el cálculo de  4^n + n^4 para n = 0, 1, y 2 y observamos que cuando n=1 obtenemos 5 como resultado, y entonces tenemos un número primo. Replantee el problema: ¿para cuales otros valores de n se obtienen números primos?

Después de un momento se produjo el segundo momento mágico: “No funciona para los números pares” dijo Itzel, una chica que ese día festejaba su cumpleaños 17. Añadió: “siempre daría un número par” (utilizó, por supuesto, los resultados del ejercicio anterior, mostrando que lo había vuelto conocimiento útil).

Excelente, dije. ¿Cuáles nos quedan como candidatos? “Los que terminan en 1, 3, 5, 7 y 9”, dijeron.

Continuar la exploración se quedó como tarea porque se nos acabó el tiempo.

Lo sorprendente es que estos chicos no han tenido otro entrenamiento que lo que han aprendido en la escuela y lo que hacemos en las sesiones sabatinas, las cuales no apuntan a convertirlos en campeones de concursos o semejantes. De hecho, la candidata más fuerte para participar en los concursos estatales, dentro de este grupo (sí, también es niña), no se escuchó durante estos ejercicios.

La otra cosa sorprendente, y que contrasta tremendamente con la petulancia de aquellos estudiantes de matemáticas en cursos de maestría (y no debería sorprenderme) es que aquí no necesitaron probar del 1 al 17 para darse cuenta de lo que Itzel hizo notar.

Si revisamos todo este rollo, quitando el anecdotario y haciendo un ejercicio de taxonomización, nos daremos cuenta de la cantidad de conocimiento generado/recuperado/puesto a prueba en una sesión que puede resumirse en 45 minutos tal vez, pero que sería tremendamente aburrida y desgastante sin esta comunicación/comunión en la que cada uno puede participar y expresar lo que no entiende sin temores, entre iguales.

Yo salí muy satisfecha, preparando lo que será la sesión del próximo sábado la cual iniciará con un breve convivio de festejo de tres cumpleañeros. Esos momentos, para mi gusto, son lo que permiten crear el ambiente de las sesiones de trabajo.

La actividad matemática

Hace tiempo preparé un material a este respecto, para un "Diplomado en Enseñanza de las matemáticas para profesores de preparatoria y la universidad", que diseñé e impartí mientras estaba a cargo de la Coordinación de Desarrollo Educativo en la Ibero Tijuana.

La presentación que acompañó a la sesión sobre lo que significa "actividad matemática" se titula "La mistificación matemática", tomada del libro de Alain Bouvier que lleva ese nombre.

Sobre la importancia de aprender a plantear y resolver problemas de matemáticas hubo también una presentación, además del documento completo con algunas referencias.

Esta semana, a propósito de las actividades que desarrollamos con los chicos del CIPEC, sumamente desestructuradas pero diseñadas ex profeso, decidí hacer una traducción libre y sintetizada del primer capítulo del citado libro de Alain Bouvier: La mystification mathématique.

Se trata, fundamentalmente, de una propuesta de cincuenta problemas dirigidos a los docentes de matemáticas y es una invitación a participar y comprender lo que es la actividad matemática. Es una invitación también a ir dando cuenta de nuestro propio proceso, el que desarrollamos cuando incursionamos en esta actividad, pero también de observar a otros docentes y hasta a algunos alumnos cuando se involucran en ella.

Los problemas, como se menciona en el documento, pueden ser problemas para los cuales todavía no se tiene una solución o ejercicios que pueden resultar sencillos para algunos. Bouvier no indica cuáles pertenecen a cada categoría. Por supuesto, no hay respuestas o hints para ellos.

Disfruten el viaje que supone La actividad matemática.