12 de noviembre en el CIPEC

Dos sábados después de la sesión del 29 de octubre nos volvimos a reunir. El 5 de noviembre estuvo a que los chicos desarrollaron la tarea asignada, trabajada con Toño y la maestra Elda.

La foto muestra la construcción que entregaron al llegar a la sesión y sobre lo que conversaríamos en la segunda parte. Es muy sencillo evaluar el desempeño en este tipo de tareas, pero no el proceso. Entre otras cosas la escuela tradicional es más enfática en la vistosidad de los constructos que en el cuidado de su realización; por otra parte, el uso eficiente de la regla y el compás, o las escuadras, no es una prioridad en la escuela y un más o menos es suficiente. Y se observa a primera vista.
Un estudio de hace unos 25 años resaltaba que las niñas obtenían mejores notas que los varones, hasta la secundaria, simplemente por el esmero en la presentación de trabajos y no por la calidad de los contenidos. Y eso se refuerza todavía.

La primera parte de la sesión estuvo dedicada a hablar de pesos y medidas. En alguna sesión anterior algunos de los chicos habían declarado no saber lo que significaba un kilo, que es el nombre común para kilogramo cuando hacemos compras. Y me pareció significativo. Por supuesto, el significado de "kilo" como prefijo también se les escapaba.

Provista de una balanza de platillos comencé por preguntar si sabían qué era y para qué servía. Dijeron que no. Aproveché que dos empleadas del CIPEC habían entrado al aula para sacar algunas sillas para pedir a una de ellas, la señora Lolis, que respondiera a la pregunta, lo cual hizo sin problema. Con su respuesta puse en funcionamiento la balanza utilizando un plumón como objeto a pesar:

Discutimos también algunas de las aplicaciones del concepto de balanza, y los otros tipos de balanzas, como la de cocina que también llevé a la sesión.

Pasamos luego a plantear un problema para que ellos resolvieran (sin tener el kilogramo de frijol)

Las respuestas se concentraron en el pizarrón, como siempre:

En la segunda parte de la sesión retomamos la construcción entregada al incio. Primero, discutir conceptos muy básicos, utilizados para saber que lo que construyeron no estaba bien elaborado. Hay que recordar que se trata de un taller de matemáticas que trata de combinar el arte y la vida real, pero el fundamento matemático es esencial.

Entre las cosas que los alumnos deberían de haber podido calcular está el largo de una de las columnas de papel que hicieron en función de su ubicación sobre lo que debería ser la recta que contuviera los centros de las bases de las columnas. Y viceversa: determinar la altura de una de tales columnas dependiendo de la posición en que fuera a ubicarse.

Para no variar, cuando se trata de hacer frente a los errores que cometemos, surgen "los culpables". Y cada uno tiene uno o varios en mente: los maestros, los padres de familia, las instituciones y los propios chicos, todo depende a quién se le pregunte.

Continuamos hablando sobre lo que debió guiar su construcción:

De:

Pasamos a hablar de escaleras y sus inclinaciones, y de la pendiente como medida de la inclinación sin utilizar conceptos trigonométricos todavía. Como es mi costumbre de toda la vida, mi cuerpo sirve como instrumento para ayudar a visualizar lo que digo. De una pendiente cero (no inclinación)

A una pendiente positiva (para quienes me observan), pasando luego por todas las opciones:

Para introducir los conceptos matemáticos de manera correcta y útil, no como una mera fórmula:

Para desmitificar y ayudar a entender uno de los conceptos fundamentales en las aplicaciones modernas de las matemáticas:

Hasta ahí, porque hay que dejar madurar algunas cosas antes de ver si servirán para continuar.

8 de octubre en CIPEC

Después de haber trabajado con el triángulo de Pascal en la sesión del 1 de octubre, retomamos lo ya desarrollado para aplicarlo en una aproximación a la probabilidad de una variable binomial. Antes, en otras sesiones, hemos abordado los significados de las probabilidades frecuencial y clásica.

Todos los términos que empleamos se van explicitando durante la sesión. Lo que se muestra en las tomas del pizarrón son, en general, las aportaciones de los chicos después de algunas actividades con lo que tenemos a la mano: dejar caer un plumón, echar un volado, etc. 

Algunas nociones deben ser replanteadas (como el significado de un porcentaje). Ciertamente no es suficiente. Sería necesario retrabajar los conceptos y los procesos durante los días de la semana o poder retomarlos varias veces durrante un ciclo escolar completo, pero no disponemos de esos tiempos.

Al elabora su propio  diagrama de árbol cuentan las opciones siguiendo con el dedo cada rama para establecer la sucesión de eventos ocurridos,

En este caso, además, se hizo evidente la relación entre la frecuencia de los valores de la variable (número de águilas en una serie de volados) y los valores del renglón correspondiente en el triángulo de Pascal.

Para continuar con el cálculo de la probabilidad en una situación donde ambos resultados en un volado tienen la misma probabilidad:

Y luego una situación en que la probabilidad de un resultado es mayor que la del otro:

Para plantear el caso mostrado en Rosencrantz & Guildestern are dead, y la manera en la que concluyen que están muertos. La situación se simplificó de la manera descrita en el pizarrón. 

Y cerramos la sesión, y el tema, con una aplicación a su vida cotidiana: aprobar un examen al "tin marín" cuando no se ha estudiado ni se ha aprendido durante el curso.

Reinicio en el CIPEC

El sábado 1 de octubre retomé las actividades con los chicos del CIPEC después de casi dos meses de ausencia. Terminó un ciclo e inició otro; algunos chicos se fueron, pero llegaron nuevos. Y, como siempre, la experiencia fue muy satisfactoria.

Dado que no hay manera de retomar desde el punto anterior se hizo necesario recomenzar, pero sin repetir lo que algunos ya habían visto. Así, volvimos a abrir el cajón de la aritmética encaminada al álgebra elemental. La propuesta: construir el triángulo de Pascal hasta la décima potencia, sin ninguna explicación adicional.

La secuencia de fotos muestra el proceso.

Por razones que no entendí decidieron escribir sobre sus rodillas, a pesar de la invitación a utilizar las mesitas (se organizan según las necesidades) o a trabajar sobre el piso, como lo han hecho en ocasiones anteriores.

Los primeros pasos y la invitación a continuar hasta la potencia 10, con la mención explícita de la potencia 0

Después de ver las producciones de los chicos y de observar los errores cometidos, escribí las líneas siguientes, le puse nombre al objeto y compartí la sugerencia para saber más. Apenas son visibles las líneas que marqué para ayudarlos a visualizar el patrón (una de las fuentes de error más frecuentes en matemáticas es no reconocer los patrones) y organizar su trabajo:

Siguió registrar las observaciones que fueron haciendo mientras construían el triángulo:

Para darle sentido algebraico, a continuación. Comenzamos con una brevísima presentación de Euclides:

Y el álgebra geométrica del libro II de los Elementos

Para establecer el cuadrado del binomio

Y la relación de los coeficientes con los números en el renglón 2 del triángulo de Pascal

Y saltar al cubo del binomio, utilizando meramente los coeficientes dados por el tercer renglón del triángulo

 Y la cuarta potencia 

 Para terminar mostrando un ejemplo de aplicación para calcular cualquier potencia de cualquier binomio, siempre y cuando tengamos en cuenta las reglas de los signos y las de los exponentes.
Y hacer notar uno de los errores más comunes entre los alumnos, cada vez que tienen que calcular el cuadrado de un binomio.

Mañana (sábado 8) continuaremos con este tema en un contexto ligeramente distinto: Probabilidad.

Actividad matemática en el CIPEC

La semana pasada compartí un texto sobre lo que es la actividad matemática , tomado del libro La mistyfication mathématique de Alain Bouvier, que incluye una propuesta de 50 problemas entre abiertos y ya resueltos, sin que conozcamos en cuál de estas categorías está cada uno y, evidentemente, sin soluciones (para los ya resueltos) ni hints.

El libro llegó a mis manos en 1985 mientras estaba en el IREM de la Universidad París 7 Diderot, a punto de presentar mi tesis. Desde entonces lo he utilizado en diferentes ocasiones para tratar de despertar el interés por una verdadera actividad matemática con los estudiantes desde muy temprana edad. La resistencia es enorme porque, fundamentalmente, muy pocos docentes han entrado en este terreno y ante la ausencia de guías externos que les permitan saber si “voy bien o me regreso” se sienten desconcertados y desamparados. Traduzcan eso a lo que hacen en sus cursos: puras cosas previsibles, dependiendo del grado o el momento del ciclo escolar. No vamos a encontrar una ecuación lineal con soluciones negativas si no se han introducido los números negativos y las operaciones con ellos, por ejemplo. Y con enteros, por favor. Dado que nunca estuve sujeta a semejantes cosas, decido que siempre es buen momento para comenzar la exploración.

Hacia 1986-1987, mientras desarrollábamos uno de los primeros cursos de la maestría en Educación Matemática, modalidad semiabierta, en la Universidad de Guadalajara, me tocó hacerme cargo de las sesiones de heurística. El grupo estaba integrado por maestros de matemáticas para ingeniería, maestros de matemáticas de bachillerato y estudiantes de la licenciatura en matemáticas en su último semestre. De los 50 problemas propuestos por Bouvier seleccioné un problema diferente para cada subgrupo.

Me ocuparé del problema 36, propuesto a los estudiantes de último semestre de la licenciatura en matemáticas a quienes daba gusto (OK, no) escuchar hablar de los títulos de sus tesis sobre topología algebraica y menjurjes semejantes con aire docto.

El problema 36 pide encontrar los valores que puede tomar un entero positivo n para que 4^n + n^4 sea un número primo.

Para mi sorpresa, los estudiantes comenzaron a ensayar uno a uno los números del 1 al 17 antes de establecer un hecho que a uno puede parecerle obvio. Y es justo en ese punto donde los chicos del CIPEC mostraron que lo que necesitan son oportunidades.

La sesión en el CIPEC comenzó, como de costumbre, conversando con los que llegan temprano acerca de lo que han experimentado/aprendido/disfrutado/odiado en los días previos de esa semana. Hubo homemade brownies para potenciar el arranque, recordando que debíamos de decidir a quién habría que regalarle el libro de Alicia en el país de las maravillas que Célica Cánovas nos había donado. Después de hacer una semblanza de Lewis Carroll y Alicia y una breve introducción al libro, decidí que sería para quien mostrará razonamiento lógico en sus participaciones de la mañana.

Para entrar en calor les propuse un ejercicio que aparece en un problemario de preparación para un concurso de ¡informática!: ¿cuál es el último dígito de 2013^2013 ?

Es evidente que su calculadora no puede ayudarles. ¿Cómo podrían responder?

“Multiplicamos” dijeron algunos. Inténtenlo, respondí. Pero Paola, la más pequeña de las chicas, dijo que no sabía qué significaba la escritura dada. Me fui al origen, con Diofanto y su dedicatoria de sus libros de Aritmética, explicitado lo que significa x^n para valores de n = 1, 2, 3 y 4.

Resultó que ella no era la única con esa laguna cuando al escribir x^2 algunos dijeron que el valor de x se multiplicaba por 2. No avanzamos hasta que para todos quedó claro que la n se refiere al número de veces que se toma x como factor. Unos 10 minutos.

Regresamos al ejercicio: ¿cuál es el último dígito de 2013^2013? Que cambié por ¿en qué dígito termina 2013^2013? Mucho desconcierto, por supuesto. Propuse que uno siempre puede tratar de entender con un problema más sencillo (Polya dixit) y escribí 23^23, que sigue estando fuera del alcance de las calculadoras. Hice hincapié en que no nos interesa el resultado total sino solamente el dígito que representa las unidades. Hicimos un par de ejercicios para explicitar el algoritmo de la multiplicación paso a paso y notar que las unidades del producto provienen solamente del resultado de multiplicar las unidades de los dos factores en cuestión. Por ejemplo, si multiplicamos 27 por 63 sabemos (debiéramos de) que el producto termina en 1.

Entonces propuse esa actividad a la que el niño de seis años, François Le Lionnais, se entrega en una tarde aburrida de un verano caluroso (hacia 1908).  La historia es importante porque toca una de las quejas de la mañana: “me aburro en mi casa y no me gusta estar aquí”.

Le Lionnais cuenta que en ese estado de aburrimiento comenzó escribiendo los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y pensó, por supuesto, que el último dígito de cualquier otro número es, necesariamente, uno de esos dígitos (Le Lionnais no incluyó al cero, de lo cual se dio cuenta unos años después, pero yo lo hice para los chicos).

Determinó que al multiplicar un número por sí mismo (desconocía, dice, que eso se denominaba "cuadrado del número") el resultado solamente pueden terminar en  0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, correspondiendo a cada uno de los dígitos.

En ese momento tenía las dos líneas siguientes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

0, 1, 4, 9, 6, ,5, 6, 9, 4, 1

Se percató, entre otras cosas, de la simetría en torno al 5, lo cual lo incita a continuar con las terminaciones de los cubos:

0, 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9.  

Un desorden con algunas propiedades. Intrigado, intenta con la cuarta potencia:

0, 1, 6, 1, 6, 5, 6, 1, 6, 1.  

Que es una sorpresa total por su simetría, para comenzar, y porque no son muchos los sobrevivientes, dice.

¿Qué ocurrirá con la quinta potencia? Obtiene

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

En ese momento Paola, la chiquita que no conocía el significado de la potencia, dijo en voz alta: “¡entonces hay que dividir entre 4.”

1. Alicia en el país de las maravillas  encontró a su dueña
2. Le pregunté qué había que dividir entre 4 (en 23^23)

Nos explicó:

23, del exponente, entre 4 da 5 y sobran 3. Así que hay que ir a la tercera fila de las cuatro creadas, y mirar la que corresponde al 3: es 7. 23^23 termina en 7.

No estaba segura de que todos hubieran entendido cabalmente lo que acababa de suceder ni la explicación. Hicimos un par de ejercicios antes de regresar a 2013^2013.

Sí: “hay que dividir entre 4” se entendió dentro del contexto de la sesión, aunque habría que ver más adelante si se produjo conocimiento.

Al dividir 2013 entre 4 tenemos 1 como residuo, lo que significa que nos fijamos en la primera fila, en la columna que corresponde al 3: es 3

Había transcurrido alrededor de una hora desde que iniciamos la sesión, y todavía disponíamos de unos 30 minutos. Propuse el ejercicio 36 de la lista de Bouvier:

encontrar los valores que puede tomar un entero positivo n para que 4^n + n^4 sea un número primo.

“No me acuerdo cuáles son los números primos”, se escuchó. Escribí la definición en una esquina del pizarrón y la lista de los primos menores que 50. Hicimos el cálculo de  4^n + n^4 para n = 0, 1, y 2 y observamos que cuando n=1 obtenemos 5 como resultado, y entonces tenemos un número primo. Replantee el problema: ¿para cuales otros valores de n se obtienen números primos?

Después de un momento se produjo el segundo momento mágico: “No funciona para los números pares” dijo Itzel, una chica que ese día festejaba su cumpleaños 17. Añadió: “siempre daría un número par” (utilizó, por supuesto, los resultados del ejercicio anterior, mostrando que lo había vuelto conocimiento útil).

Excelente, dije. ¿Cuáles nos quedan como candidatos? “Los que terminan en 1, 3, 5, 7 y 9”, dijeron.

Continuar la exploración se quedó como tarea porque se nos acabó el tiempo.

Lo sorprendente es que estos chicos no han tenido otro entrenamiento que lo que han aprendido en la escuela y lo que hacemos en las sesiones sabatinas, las cuales no apuntan a convertirlos en campeones de concursos o semejantes. De hecho, la candidata más fuerte para participar en los concursos estatales, dentro de este grupo (sí, también es niña), no se escuchó durante estos ejercicios.

La otra cosa sorprendente, y que contrasta tremendamente con la petulancia de aquellos estudiantes de matemáticas en cursos de maestría (y no debería sorprenderme) es que aquí no necesitaron probar del 1 al 17 para darse cuenta de lo que Itzel hizo notar.

Si revisamos todo este rollo, quitando el anecdotario y haciendo un ejercicio de taxonomización, nos daremos cuenta de la cantidad de conocimiento generado/recuperado/puesto a prueba en una sesión que puede resumirse en 45 minutos tal vez, pero que sería tremendamente aburrida y desgastante sin esta comunicación/comunión en la que cada uno puede participar y expresar lo que no entiende sin temores, entre iguales.

Yo salí muy satisfecha, preparando lo que será la sesión del próximo sábado la cual iniciará con un breve convivio de festejo de tres cumpleañeros. Esos momentos, para mi gusto, son lo que permiten crear el ambiente de las sesiones de trabajo.

6 de febrero 2016

La siguiente sesión, el 6 de febrero, continuamos hablando de las máquinas de guerra. Esta vez sí las de Leonardo.
Primeramente revisamos los avances del cómic en cada uno de los equipos, aunque no estuvieron todos los alumnos.

 

Tuvimos una conversación acerca de lo que es trabajo en equipo a partir de algunas de las situaciones presentadas:

• "Mi cómic..."  para referirse al cómic del equipo y que había sido delegado en el que, a su propio juicio, es el mejor dibujante.
• "No vino el que se quedó con el cómic"; sin entender todavía que si el trabajo es del equipo cada uno debe poder dar cuenta del avance y del proceso, independientemente de los que falten.

De ahí surgió la necesidad de que aprendan a utiilizar Google Docs, por ejemplo, para compartir y colaborar en línea. Mientras disponíamos de una sesión en la sala de cómputo del Centro, desarrollamos un cadáver exquisito, como ejemplo de una construcción colectiva. Resultó una historia un tanto macabra en la que, por turnos, cada uno aportó una línea. Toño Falcón, el responsable del taller sabatino, proporcionó la línea del cierre. Sorprende la limitación que se auto imponen en este tipo de tareas lo cual, sin duda, es también refllejo de la censura escolar.

Luego, vimos algunas fotos de mi album de la exposición The Da Vinci Experience a la que asistí en el San Diego Air & Space Museum, en febrero de 2009. Disponíamos, además de un par de flip books, uno ilustrando el movimiento de la sierra hidráulica y el otro ilustrando su "tornillo de aire". Los chicos disfrutaron la experiencia y preguntaron, por supuesto, cuándo veríamos esa exposición por estos rumbos. Leonardo los fascinó, sin duda. En la siguiente sesión compartimos otros materiales sobre la obra completa de Leonardo (arte y ciencia) y les regalamos cuadros de un calendario sobre el tema.

La sesión de cierre con los chicos del CIPEC

Cinco sesiones de hora y media, una cada sábado, que terminaron ayer, 28 de noviembre.

Interesante y gratificante ver a estos niños/adolescentes que comenzaron diciendo que no entendían cómo se construía la recta numérica, qué era un polinomio, cómo se dividían, y para qué servía el álgebra, llegar a este día con lo que se describe en las fotos en puro lenguaje simbólico, graficando en el plano cartesiano de Desmos.

Esta vez, la explicación se encuentra en las fotos que se comparten en el enlace.

La segunda sesión con los chicos del CIPEC

Ocurrió el sábado 24 de octubre.

Previamente recorté varios juegos de Tangrama, en fomi de colores, y los puse en bolsitas, cada una con algunos modelos de figuras a realizar: en las primeras se observaba con claridad la manera de disponer las siete piezas del Tangrama; en las siguientes se podían utilizar las anteriores como modelo para producir nuevas formas, sin el auxilio del trazo de las piezas; el tercer bloque era de figuras con un poco más de compejidad.

Antes de comenzar con este trabajo, en parejas, uno de los chicos me preguntó sobre el problema de la evaporación del agua, planteado al final de la sesión anterior. Había calculado hasta el día 1000 y todavía no estaba completamente seco el depósito. ¿Qué crees que pase?, le pregunté. "Nunca se termina, es infinito el número de días". Su primera aproximación al infinito potencial y actual, por supuesto.

Comentamos brevemente que se trataba de un experimento imaginado, porque en la realidad el agua no se evapora de esa manera, pero que hay procesos reales (como el tratar de descontaminar totalmente un lago, y lo que costaría) que siguen esos modelos donde el infinito se hace presente.

Entonces les expliqué la actividad con los tangramas;

1. Son siete piezas.
2. Se deben utilizar las siete piezas para armar cada una de las figuras.
3. Por cada figura bien formada les pondría un sticker de colores como marca de trabajo bien hecho.

A cada equipo le entregué su bolsita de material. Les pedí que explicaran las formas de las piezas y la semejanza entre algunas (los triángulos). Agunos detalles surgieron con respecto a cuadrado  y al trapezoide que nos hizo discutir las características de un rectángulo, de un rombo, de un cuadrado, y de los paralelogramos en general. Ideas mal formdas por la falta de reflexión propia de la enseñanza tradicional: rectángulo -> ángulos rectos; rombo -> cuatro lados de la misma longitud; ¿cuadrado? manipuaron un poco las figuras para concluir que el cuadrado es un rectángulo cuyos lados son todos iguales, y que es un rombo con ángulos rectos.

Cada equipo comenzó por formar las figuras del primer bloque: acomodar las piezas según se observaba en los diagramas.  Luego, intentaron con algunos del segundo bloque, aprovechando lo que habían aprendido formando las figuras del primero. Un equipo decidió ir directamente con el tercer bloque. Comenzaron los "¡ya hicimos una!" pero, al observarla, resultaba que los ángulos que habían formado no correspondían a los del modelo, o que la orientación de un elemento no correspondía. 

Al cabo de un rato, en uno de los equipos, una chica le dijo a su compañero "fíjate en los ángulos, éste es obtuso y el que hiciste no". Ese fue el primer logro independiente: desarrollar la capacidad de detectar, sin medir, las similitudes en las figuras, y utilizarlo como argumento válido.

En total deben haber construido unas cinco o seis figuras en cada equipo, en el tiempo disponible. Ell material se lo llevaron ellos. Al iniciar la siguiente sesión uno de los chiquitos me dijo que había estado jugando en su casa y le habían salido bien más figuras.